冪零群

群論における冪零群（べきれいぐん、英: nilpotent group）は、「ほとんど」アーベルな群である。この概念は、冪零群が可解群となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して位数が互いに素な二元は可換となる。有限冪零群はさらに超可解（英語版）でさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者セルゲイ・チェルニコフ（英語版）の業績に帰せられる^[1]。

冪零群はガロワ理論において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、リー群の分類においても顕著である。

冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、（導来群を作る操作を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて）リー環の理論においても用いられる（冪零リー環の項を参照）。

定義

→「群の中心」および「交換子部分群」も参照

考えている群が冪零であるとは、以下の同値な条件の何れか（したがってすべて）を満足するときに言う:

有限の長さの中心列（英語版）を持つ。それはすなわち、正規部分群からなる有限の系列 $\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$ であって、 $G i +1 / G i \leq Z (G / G i)$ あるいは同じことだが $[G, G i +1] \leq G i$ となるものである。
降中心列（英語版）が有限の長さで自明群に到達する。すなわち、 $G 0 ≔ G$ および $G i +1 ≔ [G i, G]$ によって定まる正規部分群の系列で $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}$ とできる。
昇中心列（英語版）が有限の長さでもとの群に到達する。すなわち、 $Z 0 ≔ {1}$ および $Z i +1$ は $Z i +1 / Z i = Z (G / Z i)$ なる $G$ の部分群と定めるとき、得られる正規部分群の系列で $\{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G$ とできる。

冪零群 $G$ に対して、 $G$ が長さ $n$ の中心列を持つとき（定義により、長さ $n$ を持つとは中心列に自明群と $G$ 自身を含めて $n + 1$ 個の部分群が並ぶときに言う）、そのような $n$ の最小値を $G$ の冪零度 (nilpotency class; 冪零性の等級) と呼び、また $G$ は冪零度 $n$ の冪零群であるという。 $G$ の冪零度は、降中心列または昇中心列を用いても同じ値が定められる。^{[注釈 1]}

冪零度を上記のどの仕方で定義したとしても、直ちにわかることに「自明群が冪零度零の唯一の群である」ことおよび「冪零度 $1$ の群は非自明なアーベル群である」ことが挙げられる^[2]^[3]

例

既に述べたように、任意のアーベル群は冪零である^[2]^[4]。
小位数の非アーベルな例として、最小の非アーベル $p$ -群である四元数群 $Q 8$ を挙げることができる。その中心は位数 $2$ の ${1, -1}$ であり、昇中心列 ${1}, {1, -1}, Q 8$ が得られるから、これは冪零度 $2$ の例ということになる。
実は任意の有限 $p$ -群が冪零である。位数 $p n$ の $p$ -群に対し、最大の冪零度は $n - 1$ である。冪零度最大の $2$ -群は、四元数群、二面体群あるいは半二面体群（英語版）の一般化と考えられる。
二つの冪零群の直積はまた冪零である^[5]。
逆に、任意の有限冪零群は $p$ -群の直積になる^[6]。
ハイゼンベルク群は非アーベル^[7]無限冪零群の例である^[8]。
任意の体 $F$ 上の $n$ -次冪単行列（英語版）（単上三角行列）全体の成す乗法群は、冪零度 $n - 1$ の冪零（代数）群（英語版）である。
$F$ 上の $n$ -次正則上三角行列全体の成す乗法群は一般には冪零群でない（が、可解群ではある）。

用語の説明

冪零群の名称は、それが任意の元による「随伴作用」が冪零となることによる。つまり、冪零度 $n$ の冪零群に対して、その元 $g$ の定める作用 $\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G;\;x\mapsto \operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]$ が $g, x$ に依らず $n$ 回反復合成で自明となる（ここで、 $[g, x] ≔ g -1 x -1 gx$ は $g, x$ の交換子である）。

これは冪零群を定義可能な特徴づけとはなっていない。実際、（既にみたように冪零度 $n$ の）随伴作用素 $ad g$ 全体の成す群は $n$ -次エンゲル群（英語版）^{[注釈 2]}と呼ばれ、一般には冪零群でない。位数有限ならば冪零であることが示され、有限生成ならば冪零であろうと予想されている。

アーベル群はちょうど、そのような群で随伴作用が冪零でも自明でもないもの（ $1$ -次エンゲル群）になっている。

性質

昇中心列の連続する部分群による各剰余群 $Z i +1 / Z i$ はアーベル群であり、かつ列は有限であるから、任意の冪零群は比較的単純な構造を持つ可解群である。

冪零度 $n$ の冪零群の任意の部分群は、冪零度高々 $n$ である^[9]。加えて、 $f$ が冪零度 $n$ の冪零群上の準同型ならば、 $f$ の像は冪零度高々 $n$ の冪零群になる^[9]。

有限群に対して以下は同値^[10]であり、冪零性の有効性が顕わになる:

(a) $G$ は冪零群である。
(b) 正規化性質: $H$ が $G$ の真の部分群ならば、 $H$ は（ $H$ の $G$ における）正規化群 $N G$ の真の正規部分群になる。
(c) $G$ の任意のシロー部分群は正規部分群である。
(d) $G$ はそのシロー部分群の直積である。

証明

(a) → (b)

$G$ がアーベル群ならば、任意の $H$ に対して $N G (H) = G$ であるからよい。そうでないとき、中心 $Z (G)$ が $H$ を含まないならば、 $h Z \cdot H -1 Z h -1 = hHh -1 = H$ であるから、 $H\cdotZ (G)$ は $H$ を正規化する。

以下、それ以外のときについて $G$ の位数 $| G |$ に関する帰納法で示す。 $Z (G)$ が $H$ を含むならば $H / Z (G)$ は $G / Z (G)$ に含まれる。 $G / Z (G)$ が冪零であることに注意せよ。したがって、帰納法の仮定により、 $G / Z (G)$ の部分群で $H / Z (G)$ の正規化群であるものが存在し、 $H / Z (G)$ はその真の部分群となる。それにより、その部分群を $G$ の部分群に引き戻せば、それは $H$ を正規化する^{[注釈 3]}。

(b) → (c)

$G$ の任意のシロー部分群を $P$ とし、 $N = N G (P)$ と置く。 $P$ は $N$ の正規部分群であるから、 $P$ は $N$ の特性部分群 $char N$ である。 $P = char N$ かつ $N$ は $N G (N)$ の正規部分群であるから、 $P$ は $N G (N)$ の正規部分群となる。これは $N G (N)$ が $N$ の部分群であることを意味するから、 $N G (N) = N$ であり、(b) により $N = G$ でなければならず、それは (c) ということである。

(c) → (d)

$G$ の位数を割り切る相異なる素数を $p 1, p 2, \dots, p s$ とし、部分群 $P i$ はそれぞれシロー $p i$ -部分群に含まれるとする。任意の $t$ に対し、帰納的に $P 1 \cdot P 2 \dots P t$ が $P 1 \times P 2 \times \dots \times P t$ に同型であることが示せる。実際、まず各 $P i$ が $G$ の正規部分群であるという仮定に注意すれば、積集合 $P 1 \cdot P 2 \dots P t$ は $G$ の部分群である。 $H ≔ P 1 \cdot P 2 \dots P t -1$ および $K ≔ P t$ とすれば、帰納法の仮定により $H$ は直積群 $P 1 \times P 2 \times \dots \times P t -1$ に同型で、特に $| H | = | P 1 |\cdot| P 2 | \dots | P t -1 |$ が成り立つ。 $| K | = | P t |$ であったから、 $H, K$ の位数は互いに素であり、ラグランジュの定理によって $H, K$ の交わりは自明群 ${1}$ 、したがって $HK ≅ H \times K$ だが、これは作り方から $P 1 \cdot P 2 \dots P t = HK ≅ H \times K = P 1 \times P 2 \times \dots \times P t$ であり、帰納法は完成する。 $t = s$ と取って (d) を得る。

(d) → (a)

$Z (P 1 \times P 2 \times \dots \times P s)$ が $Z (P 1) \times \dots \times Z (P s)$ に同型、したがって $G / Z (G) = (P 1 / Z (P 1)) \times \dots \times (P s / Z (P s))$ となることを見るのは易しい。ゆえに (d) の仮定は $G / Z (G)$ についても成り立つ。 $P i \neq 1$ ならば $Z (P i) \neq 1$ であるから、 $G \neq 1$ ならば $| G / Z (G)|$ は $| G |$ より小さく、帰納法の仮定により $G / Z (G)$ は冪零、したがって $G$ は冪零となる。

最後の性質 (d) は無限群の場合にも拡張することができる:

命題: $G$ が冪零群ならば、 $G$ の任意のシロー $p$ -部分群 $G p$ は正規であり、それらシロー部分群の直積は $G$ における位数有限な元全体の成す部分群に一致する。

冪零群の性質の多くは超中心群（英語版）と共通している。

注

注釈

^ 冪零度高々 $m$ の冪零群を、nil- $m$ group（ $m$ -乗零群）と呼ぶこともある
^ この呼び名に関して、冪零リー環の表現に関するエンゲルの定理を想起せよ
^ これは $p$ -群に対するのと同じ論法—単に $G$ と $G / Z (G)$ がともに冪零となるという事実だけあればよい—ゆえ、詳細は省略する

出典

^ Dixon, M. R.; Kirichenko, V. V.; Kurdachenko, L. A.; Otal, J.; Semko, N. N.; Shemetkov, L. A.; Subbotin, I. Ya. (2012). “S. N. Chernikov and the development of infinite group theory”. Algebra and Discrete Mathematics 13 (2): 169–208.
^ ^a ^b Suprunenko 1976, p. 205.
^ Tabachnikova & Smith 2000, p. 169.
^ Hungerford 1974, p. 100.
^ Zassenhaus 1999, p. 143.
^ Zassenhaus 1999, p. 143, Theorem 11.
^ von Haeseler 2002, p. 15.
^ Palmer 1994, p. 1283.
^ ^a ^b Bechtell 1971, p. 51, Theorem 5.1.3.
^ Isaacs 2008, Thm. 1.26.

参考文献

Bechtell, Homer (1971). The theory of groups. Addison-Wesley
Hungerford, Thomas Gordon (1974). Algebra. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9
Isaacs, I. Martin (2008). Finite group theory. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3
Palmer, Theodore W. (1994). Banach algebras and the general theory of *-algebras. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0
Suprunenko, D. A. (1976). Matrix Groups. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1341-2
Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Topics in Group Theory. Springer Undergraduate Mathematics Series. Berlin: Springer. ISBN 1-85233-235-2
von Haeseler, Friedrich (2002). Automatic Sequences. De Gruyter Expositions in Mathematics. 36. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6
Zassenhaus, Hans (1999). The theory of groups. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-40922-8

外部リンク

Renze, John. "Nilpotent Group". mathworld.wolfram.com (英語).
nilpotent group in nLab
nilpotent group - PlanetMath.（英語）
Shmel'kin, A.L. (2001), “Nilpotent group”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[2] 冪零度高々 $m$ の冪零群を、nil- $m$ group（ $m$ -乗零群）と呼ぶこともある

[10] この呼び名に関して、冪零リー環の表現に関するエンゲルの定理を想起せよ

[13] これは $p$ -群に対するのと同じ論法—単に $G$ と $G / Z (G)$ がともに冪零となるという事実だけあればよい—ゆえ、詳細は省略する

[Dixon-1] Dixon, M. R.; Kirichenko, V. V.; Kurdachenko, L. A.; Otal, J.; Semko, N. N.; Shemetkov, L. A.; Subbotin, I. Ya. (2012). “S. N. Chernikov and the development of infinite group theory”. Algebra and Discrete Mathematics 13 (2): 169–208.

[FOOTNOTESuprunenko1976205-3] Suprunenko 1976, p. 205.

[FOOTNOTETabachnikovaSmith2000169-4] Tabachnikova & Smith 2000, p. 169.

[FOOTNOTEHungerford1974100-5] Hungerford 1974, p. 100.

[FOOTNOTEZassenhaus1999143-6] Zassenhaus 1999, p. 143.

[FOOTNOTEZassenhaus1999143Theorem_11-7] Zassenhaus 1999, p. 143, Theorem 11.

[FOOTNOTEvon_Haeseler200215-8] von Haeseler 2002, p. 15.

[FOOTNOTEPalmer19941283-9] Palmer 1994, p. 1283.

[FOOTNOTEBechtell197151Theorem_5.1.3-11] Bechtell 1971, p. 51, Theorem 5.1.3.

[FOOTNOTEIsaacs2008Thm._1.26-12] Isaacs 2008, Thm. 1.26.

[1]

[注釈 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[注釈 2]

[9]

[10]

[注釈 3]

冪零群

定義

例

用語の説明

性質

注

注釈

出典

参考文献

関連文献

外部リンク