双八元数

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数学における双八元数（そうはちげんすう、英: bi­octonion）または複素­八元数（ふくそはちげんすう、英: complex octonion）は、双四元数（英語版） p, q の対 (p, q) として与えられる。二つの双八元数の積は、双四元数の乗法と双共軛 (biconjugate) p ↦ p* を用いて $${\displaystyle (p,q)(r,s):=(pr-s^{*}q,\ sp+qr^{*})}$$ と定義される。

• 双八元数 z ≔ (p, q) の共軛は z* ≔ (p*, −q) とする。
• 双八元数 z のノルムは N(z) ≔ zz* (= pp* + qq*) と定義され、これは八つの項を持つ複素二次形式（エルミート二次形式）である。

双八元数全体の成す多元環（双八元数代数、双八元数環）は、単純に実係数の八元数体の複素化（英語版）として導入されることもあるが、抽象代数学においては複素数体・自明な対合・二次形式 z² の三つ組からのケイリー–ディクソン構成の結果として得られる。双八元数環は一般八元数環の一つの例である。

双八元数の任意の対 y, z に対して $${\displaystyle N(yz)=N(y)N(z)}$$ が成り立つから、これにより N は合成可能な二次形式であることが分かり、したがって双八元数環は合成代数を成す。

複素八元数はクォークやレプトンの世代を記述するのに用いられた^[1]。

• J. D. Edmonds (1978) Nine-vectors, complex octonion/quaternion hypercomplex numbers, Lie groups and the ‘real’ world, Foundations of Physics 8(3-4): 303–11, doi:10.1007/BF00715215 link from PhilPapers.
• J. Koeplinger & V. Dzhunushaliev (2008) "Nonassociative decomposition of angular momentum operator using complex octonions", presentation at a meeting of the American Physical Society
• D.G. Kabe (1984) "Hypercomplex Multivariate Normal Distribution", Metrika 31(2):63−76 MR744966
• A.A. Eliovich & V.I. Sanyuk (2010) "Polynorms", Theoretical and Mathematics Physics 162(2) 135−48 MR2681963

表 話 編 歴 数の体系
可算な体系	自然数 (${\displaystyle \mathbb {N} }$) 整数 (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) 有理数 (${\displaystyle \mathbb {Q} }$) 作図可能数 代数的数 (${\displaystyle \mathbb {A} }$) 周期 計算可能数 定義可能実数 算術数（英語版） ガウス整数 (${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$) アイゼンシュタイン整数 (${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$)
合成代数	通常型 実数 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) 複素数 (${\displaystyle \mathbb {C} }$) 四元数 (${\displaystyle \mathbb {H} }$) 八元数 (${\displaystyle \mathbb {O} }$) 分解型 /${\displaystyle \mathbb {R} }$ 分解型複素数 分解型四元数（英語版） 分解型八元数 /${\displaystyle \mathbb {C} }$ 双複素数 双四元数（英語版） 双八元数
その他の多元数	二重数 二重四元数（英語版） 双曲四元数（英語版） 十六元数 (${\displaystyle \mathbb {S} }$) 分解型双四元数（英語版） 多重複素数
その他	基数 無理数 ファジー数（英語版） 超実数 レヴィ＝チヴィタ体 超現実数 超越数 順序数 p-進数 (${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$) シュタイニッツ数 準超実数
一覧 カテゴリ:数