club集合 (クラブしゅうごう) あるいは閉非有界集合は、極限順序数の部分集合のうち、順序位相の意味で閉であり、基準となっている極限順序数の中で非有界なものである。
club という名前は、closed (閉) と unbounded (非有界) の合成語である。
正式には、
を極限順序数として、
が
の中で閉であるということは、任意の
に対して、「
ならば
」となることである。従って、
の中の点列の極限が
未満であればそれは
に属する。
を極限順序数として、
が
の中で非有界であるということは、任意の
に対して、
なる
が存在するということである。
閉かつ非有界な集合をclub集合という。閉な真クラスも同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。
例として、可算極限順序数全てによる集合は
の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中ではclubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数
に対して、
未満の極限順序数全てによる集合は
内でclubである。
を共終数
の極限順序数とする。ある
に対して、列
が
のclub集合の列であったとする。このとき、
もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。
を任意にとる。ある
に対して
が存在するとき、
から
となるように、
をとる。これは各
が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数
未満の長さであり、この集合の上限は
未満である。そこで、これを
と定める。この方法により、可算列
を得る。
この列の極限は
の極限でもある。そして各
は閉で
が非可算なので、この極限は各
の元であるべきで、これは
より真に大きい
の元である。これで
が非有界であることが示された。このことから、
が正則基数であるとき
は非自明な
上の
-完備フィルターである。これをclubフィルターといい、
と表す。clubフィルターは対角線共通部分 (diagonal intersection) について閉じている。
これがフィルターであることを見る。
まず、
である(
自身は
のclub集合である)。
ならば、
を部分集合としてもつ
の部分集合はやはり
の元である。
-完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。
が対角線共通部分について閉じていることを確認する。
をclub集合の列とする。
をその対角線共通部分すなわち
とする。
が閉であることを示す。
かつ
かつ
とする。このとき、
とすると、各
に対して、
である。各
について、
である。従って、
である。よって、閉集合であることは示された。
が非有界であることを示す。
として、可算列
を以下のように定義する:
とし、
を、
なるうちでの
の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして
かつ
である。それは、全ての
について、その要素が
の元だからである。よって、
は非有界である。
が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。さらに言えば、
が正則で
を
上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて
(ただし
)の形の集合を全て要素に持つとすると
は全てのclub集合を要素に持つ。