Sumset
加法的組合せ論において、加法群 G の 2つの部分集合 A と B の和(わ、英: sum)とは、A と B の元ごとの和全体の成す集合
を言う。同じものを、アフィン幾何学周辺分野ではミンコフスキー和 (Minkowski sum) とも呼ぶ。例えば線型代数学において、二つの線型部分空間 U, V の和空間(sum space) U + V はこの意味の和集合として定義される。
A の n-重反復和集合 (n-fold iterated sumset)(n-倍集合)とは
のこととする(ここで、n は右辺の項数である)。
加法的組合せ論や加法的数論の多くの問題や結果を、この和集合を用いて言い表すことができる。例えば、ラグランジュの四平方定理は次の形で表すことができる。
ここに、 は平方数全体の成すの集合、N は自然数全体の成す集合である。多くの研究がなされる主題として、"small doubling"(小さい倍化)を持つ集合(すなわち、2-倍集合 A + A の大きさが(A に比べて)小さくなるような集合 A)の問題がある。フレイマンの定理(Freiman's theorem)の例を参照。
関連項目
[編集]- ミンコフスキー演算(Minkowski addition/subtraction)
- 制限和集合(Restricted sumset)
- シドン集合(Sidon set)
- sum-free set
- シュニレルマン密度
- シャプレー・フォークマンの補題(Shapley–Folkman lemma)
参考文献
[編集]- Henry Mann (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley ed.). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1
- Nathanson, Melvyn B. (1990). “Best possible results on the density of sumsets”. In Berndt, Bruce C.; Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini et al.. Analytic number theory. Proceedings of a conference in honor of Paul T. Bateman, held on April 25-27, 1989, at the University of Illinois, Urbana, IL (USA). Progress in Mathematics. 85. Boston: Birkhäuser. pp. 395–403. ISBN 0-8176-3481-9. Zbl 0722.11007
- Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. 165. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003
- Terence Tao and Van Vu, Additive Combinatorics, Cambridge University Press 2006.
外部リンク
[編集]- Noe, Tony. "Sumset". mathworld.wolfram.com (英語).
- Weisstein, Eric W. "Minkowski Sum". mathworld.wolfram.com (英語).
- sumset - PlanetMath.org
- Minkowski sum - PlanetMath.org