Combinatie (wiskunde)

Er is binnen de wiskunde sprake van een combinatie als er ${\displaystyle k}$ elementen worden gekozen uit een verzameling van ${\displaystyle n}$ elementen, waarbij

• ieder element hoogstens eenmaal gekozen wordt ("zonder terugleggen") en
• waarbij er niet gelet wordt op de volgorde van de elementen ("volgorde niet van belang").

Het aantal combinaties van ${\displaystyle k}$ elementen uit een verzameling van ${\displaystyle n}$ elementen wordt genoteerd als de binomiaalcoëfficiënt ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ (spreek uit als n over k of als n boven k). De binomiaalcoëfficiënt komt voor als coëfficiënt in het Binomium van Newton en dankt daaraan zijn naam. Een binomiaalcoëfficiënt kan worden berekend met de formule

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {n(n-1)\ldots (n-k+2)(n-k+1)}{k!}}={\frac {1}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}(n-i)}$

Het uitroepteken in de formule hierboven staat voor het berekenen van de faculteit.

In de noemer van de formule ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n(n-1)\ldots (n-k+2)(n-k+1)}{k!}}}$ staat ${\displaystyle k!}$, terwijl in de teller precies ${\displaystyle k}$ factoren staan, beginnend bij ${\displaystyle n}$ en vervolgens telkens met 1 afnemend.

Het begrip kent ook uitbreidingen, waarbij in plaats van de natuurlijke getallen ${\displaystyle n}$ en ${\displaystyle k}$ het rechterdeel van de formule geldt voor een complex getal of reëel getal ${\displaystyle z}$ in plaats van het natuurlijk getal ${\displaystyle n,}$ maar waarbij ${\displaystyle k}$ wel een natuurlijk getal blijft. Die uitbreiding kent toepassingen in reeksen van complexe getallen.

Als alternatieve notatie voor ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ komen onder meer voor:

${\displaystyle C(n,k)\,}$, ${\displaystyle C\,_{k}^{n}\,}$, ${\displaystyle \,C_{n}^{k}\,}$ en ${\displaystyle C_{n,k}}$

waarin de ${\displaystyle C}$ staat voor het Engelse woord combination of choice. Op sommige (grafische) rekenmachines staat ${\displaystyle {\text{nCk}}}$ of ${\displaystyle {\text{nCr}}}$.

Het aantal mogelijkheden om een geordende keuze te maken van ${\displaystyle k}$ verschillende elementen uit een totaal van ${\displaystyle n}$ elementen, wordt gegeven door ${\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}}$ (zie het artikel Variatie).

Bij een combinatie is (in tegenstelling tot bij een variatie) de volgorde niet van belang: het aantal mogelijkheden uit de variatie wordt daarom nog gedeeld door het aantal mogelijkheden om de ${\displaystyle k}$ getrokken elementen te rangschikken (de permutaties van ${\displaystyle k}$). Dit aantal mogelijkheden is gelijk aan ${\displaystyle k}$-faculteit, geschreven als ${\displaystyle k!}$. Hieruit volgt de formule ${\displaystyle {\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}}$.

Binnen een vermaasd netwerk met tien knooppunten wordt ieder knooppunt verbonden met alle andere knooppunten. Het aantal verbindingen is dus gelijk aan het aantal combinaties van twee elementen uit een verzameling bestaande uit tien elementen. Dit aantal is 45:

${\displaystyle {\binom {10}{2}}={\frac {10!}{2!\cdot (10-2)!}}={\frac {10\cdot 9}{2\cdot 1}}=45}$

Bij het samenstellen van een commissie van drie personen wordt een keuze gemaakt uit acht kandidaten. Indien geen rekening wordt gehouden met functies zoals voorzitter, penningmeester, is de volgorde van de te kiezen leden niet van belang. Er is dus sprake van een combinatie. Er zijn dan ${\displaystyle {\tbinom {8}{3}}={\tfrac {8!}{3!\cdot (8-3)!}}={\tfrac {8!}{6!}}=56}$ mogelijkheden om de commissie samen te stellen. Als de functie binnen de commissie wél van belang is, is er sprake van een variatie.

Wat hierboven staat zijn combinaties zonder herhaling. Combinaties met herhaling zijn daarop terug te voeren. Bij keuze van ${\displaystyle k}$ elementen van ${\displaystyle n}$ verschillende types met herhaling bedraagt het aantal mogelijkheden:

${\displaystyle {{(n+k-1)!} \over {k!(n-1)!}}={{n+k-1} \choose {k}}={{n+k-1} \choose {n-1}}}$

Voorbeeld. Er zijn ${\displaystyle k=3}$ dezelfde karweitjes die opgeknapt moeten worden door personen uit een groep van ${\displaystyle n=10}$. De karweitjes kunnen door drie verschillende personen gedaan worden, maar in het uiterste geval ook alle drie door dezelfde persoon. Elke mogelijkheid is een herhalingscombinatie; daarvan zijn er:

${\displaystyle {\frac {(10+3-1)!}{3!(10-1)!}}=220}$

namelijk:

${\displaystyle {\tbinom {10}{1}}=10}$ met steeds 3 keer dezelfde persoon: 000, 111, ..., 999;

${\displaystyle {\tbinom {10}{1}}{\tbinom {9}{1}}=90}$ met 2 keer dezelfde persoon en 1 andere: 001, 002, ...998;

${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}=120}$ met 3 verschillende personen: 012, 013, 014, ..., 789.

• Permutatie