Exponentiële verdeling

Exponentiële verdeling
Kansdichtheid
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Cumulatieve distributie
Parameters ratio of inverse schaal (reëel)
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde
Mediaan
Modus 0
Variantie
Scheefheid 2
Kurtosis 6
Entropie
Moment-
genererende functie
Karakteristieke functie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

In de kansrekening en de statistiek is de exponentiële verdeling een continue verdeling. De exponentiële verdelingen worden vaak gebruikt voor het modelleren van de tijd tussen twee gebeurtenissen die met een constante gemiddelde snelheid voorkomen. De exponentiële verdeling is een specifiek geval van de gamma-verdeling.

De mean time between failures is exponentieel verdeeld. De exponentiële verdeling is een weibull-verdeling waarvoor de vormparameter zo is ingesteld dat de kans dat er in een bepaalde tijdsduur een storing optreedt recht evenredig is met de duur ervan.

De kansdichtheid van een exponentiële verdeling wordt gegeven door:

waar de parameter van de verdeling is, die vaak een snelheidsparameter of intensiteitsparameter is. De uitkomstenruimte van de verdeling is het interval . De verdeling wordt vanwege de negatieve exponent, ook wel negatief-exponentiële verdeling genoemd.

De verdelingsfunctie wordt gegeven door

Alternatieve parameter

[bewerken | brontekst bewerken]

In plaats van de bovengenoemde parameter wordt ook wel de omgekeerde parameter gebruikt. De kansdichtheid heeft dan de vorm:

De parameter stelt een levensduurparameter voor. Als een toevalsvariabele de levensduur van een biologisch of mechanisch systeem voorstelt en is exponentieel verdeeld met parameter , dan is , dus bedraagt de verwachte levensduur van het systeem tijdseenheden.

Overeenkomst met de geometrische verdeling

[bewerken | brontekst bewerken]

De verdeling van het aantal gebeurtenissen tot het volgende succes in een serie gebeurtenissen met een bepaalde succeskans is de geometrische verdeling. De exponentiële verdeling komt dus voor een continue stochastische variabele overeen met de geometrische verdeling voor een discrete stochastische variabele.

Geheugenloosheid

[bewerken | brontekst bewerken]

De exponentiële verdeling heeft als merkwaardige eigenschap geheugenloosheid. Als een levensduur is die exponentieel verdeeld is, worden de overlevingskansen voor gegeven door:

We leiden nu af dat voor geldt:

Daarin volgt de eerste stap uit de constatering dat de gebeurtenis een deel is van de gebeurtenis , anders gezegd: als , is vanzelf ook .