F-ruimte

In de functionaalanalyse, een onderdeel van de wiskunde, is een F-ruimte een topologische vectorruimte waarop onder meer de open afbeeldingsstelling van toepassing is. F-ruimten zijn generalisaties van fréchet-ruimten.

Een F-ruimte is een topologische vectorruimte waarvan de topologie afkomstig is van een translatie-invariante metriek en die (als metrische ruimte) volledig is.^[1]

Een metriek ${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} ^{+}}$ heet translatie-invariant als de afstand tussen twee willekeurige punten ongewijzigd blijft bij het verschuiven van de twee punten over eenzelfde vector. Dus als voor alle ${\displaystyle x,y,z\in X}$

${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$

Deze definitie generaliseert die van een fréchet-ruimte, doordat geen lokale convexiteit meer geëist wordt. Deze terminologie is niet universeel: sommige auteurs eisen geen lokale convexiteit bij fréchet-ruimten, en andere nemen lokale convexiteit op in de definitie van een F-ruimte.^[2]

Alle fréchet-ruimten, en dus in het bijzonder alle banachruimten, zijn F-ruimten.

Voorbeelden van F-ruimten die niet lokaal convex zijn, worden geleverd door de ${\displaystyle L^{p}}$-ruimten van meetbare (reëel- of complexwaardige) functieklassen op het interval ${\displaystyle [0,1]}$ voor gegeven vaste ${\displaystyle p}$ met ${\displaystyle 0<p<1}$.

De functie

${\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}|f(x)-g(x)|^{p}\,\mathrm {d} x}$

is een translatie-invariante metriek op ${\displaystyle L^{p}}$, en ${\displaystyle (L^{p},d)}$ is een volledige metrische ruimte, maar deze ruimte heeft geen enkele convexe open deelverzameling behalve de lege verzameling en de ruimte zelf.^[3]