Formule van Euler

Bepaal de afgeleide van de functie:

${\displaystyle f(x)=e^{-ix}(\cos(x)+i\cdot \sin(x))}$

Met behulp van de productregel volgt:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=-i\cdot e^{-ix}\cdot (\cos(x)+i\cdot \sin(x))+e^{-ix}\cdot (-\sin(x)+i\cdot \cos(x))=}$

${\displaystyle =e^{-ix}(\sin(x)-i\cdot \cos(x))+e^{-ix}(-\sin(x)+i\cdot \cos(x))=}$

${\displaystyle =e^{-ix}\cdot 0=0}$

De afgeleide is dus 0. Dit betekent dat de functie ${\displaystyle f}$ constant is:

${\displaystyle f(x)=e^{-ix}\cdot (\cos(x)+i\cdot \sin(x))=C}$

Dus:

${\displaystyle \cos(x)+i\cdot \sin(x)=C\cdot e^{ix}}$

Omdat voor ${\displaystyle x=0}$ geldt, dat

${\displaystyle \cos(0)+i\cdot \sin(0)=C\,e^{0}=C}$

${\displaystyle C=1}$

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)}$

De gelijkheid kan men ook bewijzen door aan te tonen dat de taylorreeksen van beide uitdrukkingen hetzelfde zijn.

${\displaystyle e^{ix}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(ix)^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}+i\cdot \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle \cos(x)+i\cdot \sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}+i\cdot \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}}$