De dichtheidsfunctie van een normale verdeling is een voorbeeld van een Gaussische functie. In de wiskunde is een Gaussische functie of Gaussiaan een functie van de vorm:
f ( x ) = a e − ( x − b c ) 2 {\displaystyle f(x)=ae^{-\left({\frac {x-b}{c}}\right)^{2}}} met a , b {\displaystyle a,b} c {\displaystyle c} a > 0 {\displaystyle a>0}
Gaussische functies zijn genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss . Ze worden veel gebruikt in de statistiek om normale verdelingen te beschrijven, in de signaalverwerking om Gaussische filters te definiëren, in de beeldverwerking waar tweedimensionale Gaussianen worden gebruikt voor Gaussische vervaging , en in de wiskunde om warmtevergelijkingen en diffusievergelijkingen op te lossen en om de Weierstrass-transformatie te definiëren.
De functie is symmetrisch ten opzichte van x = b {\displaystyle x=b} a {\displaystyle a} x {\displaystyle x} b {\displaystyle b}
Een andere belangrijke eigenschap van een Gaussische functie is dat de fourier-getransformeerde van een Gaussische functie opnieuw een Gaussische functie oplevert. Dit kan eenvoudig aangetoond worden. Stel dat de Gaussische functie van volgende vorm is (met a > 0 {\displaystyle a>0}
f ( x ) = e − a x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-ax^{2}}} De Fourier-getransformeerde F {\displaystyle {\mathcal {F}}}
F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x {\displaystyle {\mathcal {F}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,{\rm {d}}x} = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 e − i ω x d x {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-i\omega x}\,{\rm {d}}x} = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 − i ω x d x {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}-i\omega x}\,{\rm {d}}x} = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − ( a x + i ω 2 a ) 2 + ( i ω 2 a ) 2 d x {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left({\sqrt {a}}x+{\frac {i\omega }{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}+\left({\frac {i\omega }{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}}\,{\rm {d}}x} = 1 2 π e − ω 2 4 a ∫ − ∞ ∞ e − ( a x + i ω 2 a ) 2 d x {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4a}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left({\sqrt {a}}x+{\frac {i\omega }{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}}\,{\rm {d}}x} = 1 2 π e − ω 2 4 a π a {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4a}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}} = 1 2 a e − ω 2 4 a {\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2a}}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4a}}}} Dit is inderdaad opnieuw een Gaussische functie.
French
Deutsch
