Hausdorffmaat

De hausdorffmaat, genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Hausdorff, bepaalt de maat (afmeting, volume) van een deelverzameling van de ${\displaystyle n}$-dimensionale ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ of algemener van een metrische ruimte.

Om de ${\displaystyle m}$-dimensionale maat van een deelverzameling ${\displaystyle X}$ van de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ te bepalen, wordt ${\displaystyle X}$ overdekt met een aftelbaar aantal ${\displaystyle m}$-dimensionale bolletjes met straal kleiner dan ${\displaystyle \varepsilon }$ en gaat men na hoe klein de totale afmeting van deze bolletjes kan worden. Het minimum van het volume van alle bolletjes gezamenlijk is:

${\displaystyle S_{\varepsilon }^{m}(X)=\inf \sum _{i=1}^{\infty }V_{m}r_{i}^{m}}$,

waarin ${\displaystyle r_{i}}$ de straal is van het ${\displaystyle i}$-de bolletje uit de overdekking en

${\displaystyle V_{m}={\frac {(\Gamma ({\tfrac {1}{2}}))^{m}}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}m)}}}$

het volume is van de eenheidsbol in ${\displaystyle m}$ dimensies. Het infimum wordt genomen over alle mogelijke dergelijke overdekkingen.

Door de maximaal toegestane straal ${\displaystyle \varepsilon }$ van de bolletjes kleiner te nemen, krijgt men een goede benadering van de afmeting van ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle S^{m}(X)=\lim _{\varepsilon \to 0}S_{\varepsilon }^{m}(X)}$

Voor de hausdorffmaat laat men in plaats van bolletjes alle deelverzamelingen van de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ toe die klein genoeg zijn, dat wil zeggen die een diameter hebben kleiner dan ${\displaystyle \varepsilon }$. De diameter is de grootste afstand binnen de verzameling:

${\displaystyle {\rm {diam}}(X)=\sup \,\{|x-y|:x,y\in X\}}$

De ${\displaystyle m}$-dimensionale hausdorffmaat ${\displaystyle H_{m}}$ van een deelverzameling ${\displaystyle X}$ van de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is gedefinieerd als:

${\displaystyle H^{m}(X)=\lim _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }^{m}(X)}$,

waarin

${\displaystyle H_{\varepsilon }^{m}(X)=\inf \sum _{i=1}^{\infty }V_{m}({\tfrac {1}{2}}{\rm {diam}}(U_{i}))^{m}}$,

en ${\displaystyle U_{i}}$ een deelverzameling is van de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ met een diameter kleiner dan ${\displaystyle \varepsilon }$, en de ${\displaystyle U_{i}}$ een aftelbare overdekking vormen van ${\displaystyle X}$.

De bovenstaande definitie kan eenvoudig gegeneraliseerd worden voor metrische ruimten. Daartoe vervangt men ${\displaystyle |x-y|}$ door de afstand ${\displaystyle d(x,y)}$ van ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$.

Men kan ook voor niet-gehele dimensie ${\displaystyle m}$ de hausdorffmaat definiëren. De uitdrukking voor ${\displaystyle V_{n}}$ blijft dezelfde, maar stelt niet meer het volume van de eenheidsbol voor.