Strunz begon zijn professionele carrière in 1986 bij MSV Duisburg. In 1989 verhuisde hij voor drie seizoenen naar FC Bayern München. In zijn eerste seizoen scoorde hij vijfmaal in twintig wedstrijden. In zijn tweede periode bij Bayern, van 1995 tot 2000, won hij de UEFA Cup, speelde de finale van de Champions League. Van 1992 tot 1995 speelde Strunz voor Bayer Leverkusen.