| Ten artykuł należy dopracować: |
Entropia topologiczna – wykładnicze tempo wzrostu liczby segmentów orbity układu dynamicznego odróżnianych z dowolnie dobrą, ale skończoną dokładnością. W tym sensie, entropia topologiczna opisuje w toporny, ale sugestywny sposób całkowitą wykładniczą złożoność struktury orbity poprzez jedną tylko liczbę. Układy chaotyczne wyróżniają się posiadaniem dodatniej entropii, a sama entropia topologiczna jest niczym innym jak tempem wzrostu orbit okresowych. Zatem stosownie jest patrzeć na entropię jak na ilościową miarę chaosu w układzie dynamicznym[1].
Niech
będzie odwzorowaniem ciągłym w zwartej przestrzeni metrycznej
z funkcją odległości
Zdefiniujmy ciąg rosnący metryk
poczynając od
dany wzorem:
Innymi słowy,
jest odległością pomiędzy segmentami orbit
oraz
Niech
będzie maksymalną liczbą punktów w
parami odległych o co najmniej
w metryce
O takim zbiorze mówimy, że jest
-oddzielony. Punkty tej postaci generują maksymalną liczbę segmentów orbity długości
które są odróżnialne z dokładnością do
Rozważmy wykładniczą prędkość wzrostu
wielkości
Oczywiście liczba
nie maleje wraz z
więc możemy zdefiniować wielkość
Liczbę
nazywamy entropią topologiczną odwzorowania
- Jeśli
jest metryką na
równoważną metryce
to ![{\displaystyle h_{d'}(f)=h_{d}(f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b45534b2e4cd8c53c421676f047ecc16e9b292cd)
- Entropia topologiczna jest niezmiennikiem sprzężenia topologicznego.
- Entropia topologiczna odwzorowań zwężających oraz izometrii jest zerowa.
- Jeżeli
jest domkniętym zbiorem f-niezmienniczym, to ![{\displaystyle h_{top}(f_{\upharpoonright \Lambda })\leq h_{top}(f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/551feadaf213d3dd977339c73178387514fff9d0)
- Jeżeli
gdzie
są domkniętymi zbiorami f-niezmienniczymi, to ![{\displaystyle h_{top}(f)=\max _{1\leq i\leq m}h_{top}(f_{\upharpoonright \Lambda _{i}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f640f84382f692fc3e269cbdb6c6708591056fe7)
![{\displaystyle h_{top}(f^{m})=|{m}|\cdot h_{top}(f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33e54f5e510f14e420c339d3dba2d058b604c14)
- Jeżeli odwzorowanie
jest faktorem odwzorowania
to ![{\displaystyle h_{top}(g)\leq h_{top}(f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718d1c98db908aa8a364fce55f85c0b5efa841bb)
gdzie
zaś odwzorowanie
dane jest wzorem: ![{\displaystyle (f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc6c61d8b2c712f0e9b1c734439c045c9385858)
- ↑ Boris Hasselblatt, Anatole Katok: A first course in dynamics with a Panorama of Recent Developments, Cambridge University Press, 2003.