Funkcja Wignera – Wikipedia, wolna encyklopedia
Funkcja Wignera – w mechanice kwantowej funkcja skonstruowana z funkcji falowej dająca informacje na temat rozkładu pędu i położenia stanu kwantowego w przestrzeni fazowej i umożliwiająca bezpośrednie porównanie rozwiązań równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej z rozwiązaniami równań Hamiltona w sensie rozkładu statystycznego gęstości prawdopodobieństwa warunków początkowych. W tym sensie wyraża ona ewolucje czasową zbioru trajektorii klasycznych odpowiadających stanowi kwantowemu zaburzonych przez mechanike kwantową jeśli tylko jest wszędzie dodatnia. Jednak w odróżnieniu od klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa warunków początkowych w przestrzeni fazowej istnieją stany dla których przyjmuje ona ujemne wartości, tzn. nie mają one jasnego odpowiednika w klasycznym rozkładzie warunków początkowych (pojawia się ujemne prawdopodobieństwo).
Konstrukcja funkcji Wignera polega na znalezieniu takiej funkcji dla której
Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie równa jest całce z funkcji po zmiennej pędowej, zaś gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie równa jest całce z funkcji po zmiennej położeniowej.
Wigner zauważył, że związki te spełnia następująca biliniowa forma (definicja funkcji Wignera):
Funkcja Wignera zdefiniowana poprzez funkcje falowe jest użyteczna wyłącznie dla stanów czystych. Aby pozbyć się tego ograniczenia można zdefiniować funkcję Wignera w sposób ogólniejszy
gdzie jest macierzą gęstości.
Działanie funkcji Wignera widać najlepiej dla dobrze zlokalizowanyh paczek falowych mających skończony pęd np. dla cząstki swobodnej w jednym wymiarze przestrzennym ze współrzędna opisanej funkcją falową Czynnik mnożący pojawiający się w symetrycznym wyrażeniu podobnym do splotu funkcji ma podwójne działanie. Wykrywa duże czynniki fazowe pędu w funkcji falowej oraz skaluje gęstość przestrzenną do jej transformaty Fouriera tak aby wyprodukować prawidłową nieoznaczoność pędu. Jeśli gaussowska paczka falowa z fazą zespoloną reprezentującą pęd zlokalizowana jest np. wokoło punktu wtedy jest parzysta w sensie modułu w tzn. a znak minus z w argumencie funkcji falowej znosi się ze sprzężeniem zespolonym produkując całkowity czynnik fazowy pędu w Dla funkcja Wignera jest więc transformatą Fouriera czynnika fazowego pędu pomnożonego przez przeskalowaną (poszerzoną) gaussowską gęstość przestrzenną w więc jest też funkcją Gaussa z maksimum w okolicy wartości tego pędu. Natomiast dla skończonego cała funkcja pomnożona jest przez gaussowską gęstość przestrzenną w niezależną od co znaczy, że funkcja Wignera w przestrzeni fazowej zlokalizowana jest zarówno w około lokalizacji przestrzennej cząstki jak i lokalizacji w przestrzeni pędu, tzn. wokoło wartości pędu z czynnika fazowego. Natomiast transformata Fouriera gęstości przestrzennej nie jest kwadratem transformaty Fouriera modułu Gaussowskiej funkcji falowej dającej rozkład pędu i przed transformatą potrzebne jest jej przeskalowanie.
Dla gaussowskiej funkcji falowej cząstki swobodnej o pędzie
Funkcja Wignera jest po prostu dana przez
czyli jest iloczynem funkcji Gaussa pędu i funkcji Gaussa położenia o rozmyciach i jednym będącym odwrotnością drugiego (zasada nieoznaczoności Heisenberga).
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- W.P. Schleich: Quantum Optics in Phase Space. Berlin: Wiley-Vch, 2001.