Hiperkula – zwyczajowa nazwa uogólnienia kuli w n {\displaystyle n} -wymiarowych przestrzeniach kartezjańskich R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} Tak więc hiperkulą może być nazwane zarówno dwuwymiarowe koło , jak i trój-, cztero- lub pięciowymiarowa kula; jednak pojęcia tego używa się najczęściej dla cztero- lub więcej wymiarowych kul.
Rzut na płaszczyznę siatki pokrywającej hiperkulę czterowymiarową Wyobrażenie sobie wielowymiarowej (cztero-, pięcio-, lub więcej) hiperkuli jest trudne dla człowieka, ponieważ przestrzeń z czterema lub większą liczbą wymiarów leży poza granicami ludzkiej, trójwymiarowej percepcji . Można narysować rzut hiperkuli na płaszczyznę, lub ewentualnie skonstruować rzut na przestrzeń trójwymiarową – dostajemy jednak wówczas odpowiednio zwykłe koło i zwykłą kulę. Można też pokryć powierzchnię hiperkuli siatką (odpowiadającą siatce równoleżników i południków na kuli) i narysować jej rzut. Uzyskujemy wówczas rysunek taki jak obok.
W przypadku przekrojenia hiperkuli, w miejscu przecięcia zobaczymy kulę (analogicznie do przekrojenia kuli, gdy w miejscu przecięcia widzimy koło).
Hiperkulą o środku w punkcie S = ( s 1 , … , s n ) {\displaystyle S=(s_{1},\dots ,s_{n})} i promieniu długości r {\displaystyle r} nazywamy zbiór punktów przestrzeni R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} spełniających nierówność
( x 1 − s 1 ) 2 + ( x 2 − s 2 ) 2 + … + ( x n − s n ) 2 ⩽ r 2 . {\displaystyle (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2}.} Brzegiem hiperkuli jest zbiór punktów przestrzeni R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} spełniających równanie
( x 1 − s 1 ) 2 + ( x 2 − s 2 ) 2 + … + ( x n − s n ) 2 = r 2 . {\displaystyle (x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}=r^{2}.} Zbiór ten nazywamy hipersferą . Hipersfera będąca brzegiem kuli n {\displaystyle n} -wymiarowej jest obiektem ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -wymiarowym, podobnie jak brzeg dwuwymiarowego koła jest obiektem jednowymiarowym – krzywą zwaną okręgiem .
n {\displaystyle n} -wymiarową objętość n {\displaystyle n} -wymiarowej hiperkuli o promieniu r {\displaystyle r} można obliczyć ze wzoru:
V n = π n 2 Γ ( n 2 + 1 ) ⋅ r n = { π k k ! ⋅ r n dla n = 2 k , 2 k π k − 1 n ! ! ⋅ r n dla n = 2 k − 1 , {\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}\cdot r^{n}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\pi ^{k}}{k!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k,\\[2ex]\displaystyle {\frac {2^{k}\pi ^{k-1}}{n!!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k-1,\end{cases}}} gdzie Γ {\displaystyle \Gamma } oznacza funkcję gamma , π {\displaystyle \pi } to stała matematyczna wynosząca π ≈ 3,141 593 , {\displaystyle \pi \approx 3{,}141593,} zaś symbol n ! ! {\displaystyle n!!} oznacza silnię podwójną . Wraz ze wzrostem liczby wymiarów, hiperkula wypełnia coraz mniejszą część hipersześcianu , w który jest wpisana. Stosunek ich objętości maleje do zera, gdy n {\displaystyle n} dąży do nieskończoności .
( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -wymiarowa powierzchnia hiperkuli jest związana prostym wzorem z jej objętością:
S n = n V n r . {\displaystyle S_{n}={\frac {nV_{n}}{r}}.} n {\displaystyle n} -wymiarową objętość n {\displaystyle n} -wymiarowej hiperkuli można policzyć, całkując odpowiednio ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -wymiarową hiperkulę, przy czym 0-wymiarowa hiperkula jest punktem o objętości równej 1, co jest warunkiem brzegowym tego wzoru.
V n ( r ) = { 1 dla n = 0 , ∫ − r r V n − 1 ( r 2 − x 2 ) d x dla n > 0. {\displaystyle V_{n}(r)={\begin{cases}\displaystyle 1&{\text{dla }}n=0,\\[2ex]\displaystyle \int \limits _{-r}^{r}\,V_{n-1}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})dx&{\text{dla }}n>0.\end{cases}}} Dla kolejnych n {\displaystyle n} -wymiarowych hiperkul objętość wynosi:
n Wzór na uogólnioną objętość (Vn ): 0 {\displaystyle 0} V 0 = 1 {\displaystyle V_{0}=1} 1 {\displaystyle 1} V 1 = 2 ⋅ r {\displaystyle V_{1}=2\cdot r} 2 {\displaystyle 2} V 2 = π ⋅ r 2 ≃ 3,141 59265 ⋅ r 2 {\displaystyle V_{2}=\pi \cdot r^{2}\simeq 3{,}14159265\cdot r^{2}} 3 {\displaystyle 3} V 3 = 4 3 π ⋅ r 3 ≃ 4,188 7902 ⋅ r 3 {\displaystyle V_{3}={\frac {4}{3}}\pi \cdot r^{3}\simeq 4{,}1887902\ \cdot r^{3}} 4 {\displaystyle 4} V 4 = π 2 2 ⋅ r 4 ≃ 4,934 8022 ⋅ r 4 {\displaystyle V_{4}={\frac {\pi ^{2}}{2}}\ \cdot r^{4}\simeq 4{,}9348022\cdot r^{4}} 5 {\displaystyle 5} V 5 = 8 ⋅ π 2 15 ⋅ r 5 ≃ 5,263 789 ⋅ r 5 {\displaystyle V_{5}={\frac {8\cdot \pi ^{2}}{15}}\cdot r^{5}\simeq 5{,}263789\cdot r^{5}} 6 {\displaystyle 6} V 6 = π 3 6 ⋅ r 6 ≃ 5,167 7128 ⋅ r 6 {\displaystyle V_{6}={\frac {\pi ^{3}}{6}}\cdot r^{6}\simeq 5{,}1677128\cdot r^{6}} 7 {\displaystyle 7} V 7 = 16 ⋅ π 3 105 ⋅ r 7 ≃ 4,724 766 ⋅ r 7 {\displaystyle V_{7}={\frac {16\cdot \pi ^{3}}{105}}\cdot r^{7}\simeq 4{,}724766\cdot r^{7}} 8 {\displaystyle 8} V 8 = π 4 24 ⋅ r 8 ≃ 4,058 7121 ⋅ r 8 {\displaystyle V_{8}={\frac {\pi ^{4}}{24}}\cdot r^{8}\simeq 4{,}0587121\cdot r^{8}} 9 {\displaystyle 9} V 9 = 32 ⋅ π 4 945 ⋅ r 9 ≃ 3,298 5089 ⋅ r 9 {\displaystyle V_{9}={\frac {32\cdot \pi ^{4}}{945}}\cdot r^{9}\simeq 3{,}2985089\cdot r^{9}} 10 {\displaystyle 10} V 10 = π 5 120 ⋅ r 10 ≃ 2,550 164 ⋅ r 10 {\displaystyle V_{10}={\frac {\pi ^{5}}{120}}\cdot r^{10}\simeq 2{,}550164\cdot r^{10}} 11 {\displaystyle 11} V 11 = 64 ⋅ π 5 10395 ⋅ r 11 ≃ 1,884 1039 ⋅ r 11 {\displaystyle V_{11}={\frac {64\cdot \pi ^{5}}{10395}}\cdot r^{11}\simeq 1{,}8841039\cdot r^{11}} 12 {\displaystyle 12} V 12 = π 6 720 ⋅ r 12 ≃ 1,335 2628 ⋅ r 12 {\displaystyle V_{12}={\frac {\pi ^{6}}{720}}\cdot r^{12}\simeq 1{,}3352628\cdot r^{12}} 13 {\displaystyle 13} V 13 = 128 ⋅ π 6 135135 ⋅ r 13 ≃ 0,910 6288 ⋅ r 13 {\displaystyle V_{13}={\frac {128\cdot \pi ^{6}}{135135}}\cdot r^{13}\simeq 0{,}9106288\cdot r^{13}} 14 {\displaystyle 14} V 14 = π 7 5040 ⋅ r 14 ≃ 0,599 2645 ⋅ r 14 {\displaystyle V_{14}={\frac {\pi ^{7}}{5040}}\cdot r^{14}\simeq 0{,}5992645\cdot r^{14}} 15 {\displaystyle 15} V 15 = 256 ⋅ π 7 2027025 ⋅ r 15 ≃ 0,381 44328 ⋅ r 15 {\displaystyle V_{15}={\frac {256\cdot \pi ^{7}}{2027025}}\cdot r^{15}\simeq 0{,}38144328\cdot r^{15}} 16 {\displaystyle 16} V 16 = π 8 40320 ⋅ r 16 ≃ 0,235 33063 ⋅ r 16 {\displaystyle V_{16}={\frac {\pi ^{8}}{40320}}\cdot r^{16}\simeq 0{,}23533063\cdot r^{16}} 17 {\displaystyle 17} V 17 = 512 ⋅ π 8 34459425 ⋅ r 17 ≃ 0,140 981107 ⋅ r 17 {\displaystyle V_{17}={\frac {512\cdot \pi ^{8}}{34459425}}\cdot r^{17}\simeq 0{,}140981107\cdot r^{17}} 18 {\displaystyle 18} V 18 = π 9 362880 ⋅ r 18 ≃ 0,082 1459 ⋅ r 18 {\displaystyle V_{18}={\frac {\pi ^{9}}{362880}}\cdot r^{18}\simeq 0{,}0821459\cdot r^{18}} 19 {\displaystyle 19} V 19 = 1024 ⋅ π 9 654729075 ⋅ r 19 ≃ 0,046 6216 ⋅ r 19 {\displaystyle V_{19}={\frac {1024\cdot \pi ^{9}}{654729075}}\cdot r^{19}\simeq 0{,}0466216\cdot r^{19}} 20 {\displaystyle 20} V 20 = π 10 3628800 ⋅ r 20 ≃ 0,025 80689 ⋅ r 20 {\displaystyle V_{20}={\frac {\pi ^{10}}{3628800}}\cdot r^{20}\simeq 0{,}02580689\cdot r^{20}} 2 m {\displaystyle 2m} V 2 m = π m m ! ⋅ r 2 m {\displaystyle V_{2m}={\frac {\pi ^{m}}{m!}}\cdot r^{2m}} 2 m + 1 {\displaystyle 2m+1} V 2 m + 1 = 2 2 m + 1 ⋅ m ! ⋅ π m ( 2 m + 1 ) ! ⋅ r 2 m + 1 {\displaystyle V_{2m+1}={\frac {2^{2m+1}\cdot m!\cdot \pi ^{m}}{(2m+1)!}}\cdot r^{2m+1}} ∞ {\displaystyle \infty } lim n → ∞ V n r n = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {V_{n}}{r^{n}}}\ =0}