Proces Poissona – Wikipedia, wolna encyklopedia
Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina (będąca procesem stochastycznym – procesem Markowa) zdefiniowana w następujący sposób:
Gdzie ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych parametrem
Zmienna oznacza czas pomiędzy (i-1)-szym a i-tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), a to liczba zgłoszeń, które wystąpiły do chwili t.
Równoważne definicje
[edytuj | edytuj kod]Proces stochastyczny jest procesem Poissona o intensywności wtedy i tylko wtedy, gdy:
(i)
- W czasie startowym przyjmuje wartość zero.
- ma przyrosty niezależne.
- różnice między stanami mają rozkład Poissona o podanym parametrze.
(ii)
- ma niezależne i stacjonarne przyrosty.
Niezależność przyrostów oznacza, że liczba zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Proces ten więc nie ma pamięci – wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w danym czasie.
Własności
[edytuj | edytuj kod]Niech Wtedy ma rozkład Erlanga z parametrami
Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Lévy’ego.