Proces Wienera – Wikipedia, wolna encyklopedia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Wiener_process_zoom.png/300px-Wiener_process_zoom.png)
Proces Wienera (ruch Browna) – proces stochastyczny z czasem ciągłym nazwany dla uhonorowania osiągnięć Norberta Wienera. Jest też często nazywanym ruchem Browna, gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie, który po raz pierwszy zaobserwował botanik Robert Brown. Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu Lévy’ego. Proces Wienera nierzadko opisuje zjawiska występujące w ekonomii, finansach czy fizyce.
W matematyce, badania nad procesem Wienera zapoczątkowały rozwój teorii martyngałów z czasem ciągłym. Proces odgrywa kluczową rolę w badaniach bardziej skomplikowanych procesów, np. procesów będących rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych jak procesy dyfuzji. W matematyce stosowanej procesu Wienera używa się m.in. do wyznaczenia całki stochastycznej z tzw. białego szumu oraz do modelowania innych szumów (zob. szum czerwony).
W fizyce proces Wienera służy do modelowania ruchów cząsteczek w zawiesistej cieczy oraz różnych procesów dyfuzyjnych (zob. równanie Fokkera-Plancka oraz równanie Langevina). Rozwiązanie równania Schrödingera wyraża się poprzez proces Wienera (zob. wzór Feynmana-Kaca). W finansach, procesu Wienera używa się do wyznaczenia modelu Blacka-Scholesa wyceny opcji europejskich.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Proces stochastyczny na przestrzeni probabilistycznej nazywa się (standardowym) procesem Wienera, gdy spełnia następujące warunki:
- prawie na pewno,
- proces ten ma przyrosty niezależne, tj. dla wszelkich zmienne losowe
- są niezależne,
- 3. dla wszelkich tj. różnica procesów Wieniera dla dwóch dowolnych chwil jest procesem gaussowskim (normalnym) o średniej równej zeru i wariancji równej odległości czasowej rozważanych procesów
- 4. trajektorie procesu są ciągłe prawie na pewno, tzn. istnieje taki zbiór że oraz dla wszelkich funkcja jest ciągła.
Niektórzy autorzy zakładają, że oraz że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe[1].
Twierdzenia
[edytuj | edytuj kod]Twierdzenie 1: Proces Wienera jest procesem gaussowskim, tj. dla wszelkich wektor losowy
ma (wielowymiarowy) rozkład normalny.
Nie wszystkie procesy gaussowskie są procesami Wienera. Warunki konieczne do tego określa poniższe twierdzenie. Twierdzenie 2: Proces gaussowski jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy
- a. prawie wszystkie jego trajektorie są ciągłe,
- b. dla wszelkich
- c. dla wszelkich [2].
Dowód:
By udowodnić, że proces gaussowski spełniający warunki a.-c. jest procesem Wienera należy zauważyć, że tj. p.n., co dowodzi warunku 1. Następnie, dla zmienna losowa ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją
co dowodzi warunku 3. By wykazać warunek 2., z gaussowskości rozkładu wynika, że dla wszelkich zmienne
są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane (tj. kowariancja każdej ich pary wynosi 0). Mamy jednak dla
oraz
co kończy dowód[2].
Twierdzenie 3: Proces Wienera spełnia powyższe warunki a.-c.
Dowód:
Rzeczywiście, jeżeli jest procesem Wienera, to.
z uwagi na to, że p.n. (warunek 1.) oraz zmienna ma rozkład normalny (warunek 3.). Z niezależności rozkładów, tj. warunku 2., wynika, że dla zachodzi
- [2].
Proces Wienera można scharakteryzować poprzez stacjonarność przyrostów i skończoność czwartych momentów, o czym mówi poniższe twierdzenie.
Twierdzenie 4: Proces stochastyczny jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki 1., 2. i 4. podane w definicji procesu Wienera oraz
- 3a. przyrosty procesu są stacjonarne, tj. dla wszelkich zmienne oraz mają te same rozkłady,
- 3b.
- 3c. dla wszelkich [2].
Własności
[edytuj | edytuj kod]Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:
- Cechy trajektorii – pomimo że zgodnie z założeniem definicji (prawie wszystkie) trajektorie procesu Wienera są ciągłe, to nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma wahanie nieskończone[3], co implikuje, że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu)[4].
- Proces Wienera ma mocną własność Markowa.
- Prawo odbicia procesu Wienera – po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo to można opisać za pomocą wzoru
- Prawo iterowanego logarytmu opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możliwe jest też badanie trajektorii w otoczeniu 0).
Operacje zachowujące własności procesu Wienera
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie procesem Wienera. Wówczas każdy ze zdefiniowanych niżej procesów jest również procesem Wienera
- (odbity proces Wienera),
- (proces Wienera o czasie przeskalowanym przez pewne ),
- dla oraz dla (inwersja czasu w procesie Wienera),
- dla oraz dla (dla dowolnego )[3]; zob. prawo odbicia procesu Wienera.
Konstrukcja procesu Wienera
[edytuj | edytuj kod]Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej szkic dowodu najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Niech dana będzie cząstka poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest „procesem granicznym” dla błądzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje twierdzenie Donskera.
Miara procesu Wienera
[edytuj | edytuj kod]Proces Wienera jak każdy proces stochastyczny, wyznacza miarę na przestrzeni z σ-ciałem zbiorów cylindrycznych poprzez warunek
W przypadku, gdy wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe (co zawsze można osiągnąć dokonując modyfikacji procesu) miarę można wyznaczyć ze wzoru
gdzie jest dowolnym borelowskim podzbiorem przestrzeni funkcji ciągłych na z topologią zbieżności niemal jednostajnej (tj. zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych). Stąd o procesie Wienera można myśleć jako o pewnym rozkładzie probabilistycznym na przestrzeni [5].
Proces wielowymiarowy
[edytuj | edytuj kod]Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces -wymiarowy definiuje się jako proces
gdzie to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. W przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest gęsta na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem nigdziegęstym.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Latała 2011 ↓, s. 5.
- ↑ a b c d Latała 2011 ↓, s. 6.
- ↑ a b Latała 2011 ↓, s. 9.
- ↑ Latała 2011 ↓, s. 8.
- ↑ Latała 2011 ↓, s. 10.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.
- Rafał Latała: Wstęp do Analizy Stochastycznej. Uniwersytet Warszawski, 2011..