Przestrzeń pseudometryczna – Wikipedia, wolna encyklopedia
Przestrzeń pseudometryczna – zbiór z wprowadzonym rozszerzeniem pojęcia metryki, od której odróżnia ją aksjomat identyczności nierozróżnialnych: pseudometryka dopuszcza przypadek, gdy nieidentyczne elementy zbioru są oddalone o zerową „odległość”.
Przestrzenie pseudometryczne znajdują zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.
Pseudometrykę wprowadzają też szczególna i ogólna teoria względności Einsteina.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie dowolnym niepustym zbiorem z określoną na nim funkcją dwuargumentową zwaną pseudometryką, spełniającą dla każdego warunki:
Para uporządkowana nazywana jest przestrzenią pseudometryczną.
Pseudometryka w przestrzeni funkcyjnej
[edytuj | edytuj kod]W przestrzeni funkcji z wyróżnionym punktem można zdefiniować pseudometrykę wzorem:
Np. niech
oraz
wtedy
oraz
– funkcje są w zerowej od siebie odległości, mino że funkcje oraz są różne.
Pseudometryka w teorii względności
[edytuj | edytuj kod]Pseudometrykę wprowadza szczególna i ogólna teoria względności Einsteina. Jest tak dlatego, że wielkością niezmienniczą grupy izometrii w czasoprzestrzeni (do których należą obroty i translacje przestrzenne oraz transformacje Lorentza – te ostatnie wymusza postulat o stałości prędkości światła względem dowolnego układu odniesienia) nie jest odległość punktów w przestrzeni, ale tzw. interwał czasoprzestrzenny.
Interwał czasoprzestrzenny może przyjmować wartości zarówno dodatnie, zerowe, jak i ujemne. Np. interwał dla światła jest zawsze równy zeru, mimo że punkty przez które przechodzi światło są dowolnie odległe w przestrzeni. Dla zdarzeń nie powiązanych związkami przyczynowymi interwał zaś jest mniejszy od zera.
Ze względu na fakt, że niezmiennikiem geometrycznym izometrii w czasoprzestrzeni jest interwał czasoprzestrzenny, czasoprzestrzeń jest w ogólności 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską (w szczególnym przypadku – przestrzenią pseudoeuklidesową).
Własności
[edytuj | edytuj kod]W przestrzeniach liniowych pseudometryka generowana jest przez półnormę.
Topologia indukowana przez pseudometrykę generowana jest przez kule otwarte
które stanowią jej bazę. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest pseudometryzowalna, jeśli istnieje taka pseudometryka, że indukowana przez nią topologia pokrywa się z daną.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przestrzeń z pseudometryką