Równanie transportu – Wikipedia, wolna encyklopedia

Równanie transportu – równanie różniczkowe cząstkowe postaci (1):

${\displaystyle u_{t}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}=0,}$

gdzie ${\displaystyle b_{i}\in \mathbb {R} ,}$ a funkcja ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\times [0,\infty ]\to \mathbb {R} }$ jest niewiadomą.

Przy założeniu, że dysponujemy gładkim rozwiązaniem ${\displaystyle u}$ oraz po podzieleniu lewej strony (1) przez ${\displaystyle 1+\sum _{i=1}^{n}b_{i}}$ stwierdzamy, że równanie to orzeka, że pewna pochodna kierunkowa funkcji ${\displaystyle u}$ jest równa zeru.

Niech ${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},...,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ będzie wektorem. Ustalmy zatem dowolny punkt ${\displaystyle (x_{0},t_{0})\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )}$ i połóżmy:

${\displaystyle z(s)=u(x_{0}+sb,t_{0}+s)}$

przy założeniu ${\displaystyle (s\in \mathbb {R} )}$ i przy oznaczeniu ${\displaystyle sb=s\sum _{i=1}^{n}b_{i}.}$

Wtedy prawdziwym jest związek:

${\displaystyle {\frac {dz}{ds}}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}(x_{0}+sb,t_{0}+s)+u_{t}(x_{0}+sb,t_{0}+s)=0}$

na mocy (1). Funkcja ${\displaystyle z}$ zmiennej ${\displaystyle s}$ jest więc stała, co oznacza, że dla każdego punktu ${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$ funkcja ${\displaystyle u}$ przyjmuje te same wartości na całej prostej przechodzącej przez ten punkt oraz równoległej do wektora ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{n},1)\in \mathbb {R} ^{n+1}.}$ Wartości szukanej funkcji w całej dziedzinie są zatem znane, jeżeli znane są wartości w jakichkolwiek punktach na każdej z takich prostych.

W wypadku zagadnienia początkowego (2):

${\displaystyle u_{t}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}=0}$ przy ${\displaystyle u=g}$ na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \{t=0\}}$

każda z omawianych wcześniej prostych postaci ${\displaystyle (x_{0}+sb,t_{0}+s)}$ przecina płaszczyznę ${\displaystyle \gamma =\mathbb {R} ^{n}\times \{t=0\}}$ dla ${\displaystyle s=-t_{0}}$ w punkcie ${\displaystyle (x_{0}-t_{0}b,0).}$ Ponieważ funkcja ${\displaystyle u}$ jest na tych prostych stała oraz ${\displaystyle u(x_{0}-t_{0}b,0)=g(x_{0}-t_{0}b)}$ to wnioskujemy:

${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n},t)=u(x,t)=g(x-tb)}$ przy ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},t\geqslant 0}$

i jest to słabe rozwiązanie zagadnienia (2).

Równanie niejednorodne

Dla zagadnienia (3) ${\displaystyle u_{t}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}=f}$ przy ${\displaystyle u=g}$ i tych samych oznaczeniach jak wyżej, kładziemy ${\displaystyle z(s),}$ uzyskując:

${\displaystyle {\frac {dz}{ds}}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{x_{i}}(x_{0}+sb,t_{0}+s)+u_{t}(x_{0}+sb,t_{0}+s)=f(x_{0}+sb,t_{0}+s)}$

i dalej:

${\displaystyle u(x_{0},t_{0})-g(x_{0}-bt_{0})=z(0)-z(-t_{0})=\int \limits _{-t_{0}}^{0}{\frac {dz}{ds}}\,ds=\int \limits _{-t_{0}}^{0}f(x_{0}+sb,t_{0}+s)\,ds,}$

zatem ${\displaystyle u(x,t)=g(x-tb)+\int \limits _{-t_{0}}^{0}f(x_{0}+sb,t_{0}+s)\,ds}$ przy ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},t\geqslant 0}$ jest rozwiązaniem równania (3).

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010.