Ruch obrotowy – Wikipedia, wolna encyklopedia

Ruch obrotowy wokół ustalonej osi – szczególny przypadek ruchu obrotowego, rozważany w nauczaniu fizyki. Ograniczenie zagadnienia do stałej osi obrotu wyklucza możliwość opisania takich zjawisk, jak chwianie się lub precesja.

W ruchu obrotowym wokół ustalonej osi, wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu, a okręgi te leżą w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu. Rozważa się obrót punktu materialnego oraz bryły sztywnej wokół ustalonej osi obrotu^[1]. Ograniczenie to umożliwia przyjęcie pojęć i sformułowania praw rządzących tym ruchem będących odpowiednikami praw ruchów liniowych. Opis ruchu wokół nieustalonych osi obrotu jest bardziej skomplikowany^[2].

Ruch bryły wokół ustalonej osi obrotu często występuje w technice, wiele ruchów można opisać jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego względem osi o ustalonym kierunku^[1].

Wybierając do opisu ruchu układ współrzędnych walcowych o osi będącej osią obrotu, jedyną zmieniającą się współrzędną jest kąt o jaki obraca się opisywane ciało. Przez co ruch obrotowy o ustalonej osi obrotu punktu materialnego i bryły sztywnej jest matematycznym odpowiednikiem ruchu postępowego po linii prostej.

Zmiany kąta w czasie opisuje prędkość kątowa określona jako^[3]:

${\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}.}$

Zmiany prędkości kątowej opisuje przyspieszenie kątowe^[3]:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle \varepsilon }$ – przyspieszenie kątowe,

${\displaystyle \omega }$ – prędkość kątowa,

${\displaystyle \theta }$ – kąt.

${\displaystyle v=\omega l}$

lub

${\displaystyle v={\frac {d\theta }{dt}}l}$

gdzie: ${\displaystyle v}$ – prędkość liniowa w ruchu po okręgu o promieniu ${\displaystyle l}$.

(1) Energia kinetyczna ciała punktowego, poruszającego się po okręgu o promieniu ${\displaystyle l}$:

${\displaystyle E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}ml^{2}\omega ^{2}}$

gdyż:

${\displaystyle E_{\text{rot}}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {m(\omega l)^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}ml^{2}\omega ^{2}}$

(2) Energia kinetyczna ${\displaystyle E_{\text{rot}}}$ bryły sztywnej składającej się z ciał punktowych jest sumą energii kinetycznej tych ciał i jest dana wzorem

${\displaystyle E_{\text{rot}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}l_{i}^{2}\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$,

gdzie ${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}l_{i}^{2}}$ - moment bezwładności ciała.

Podstawowym prawem opisującym ruch bryły sztywnej jest druga zasada dynamiki ruchu obrotowego:

${\displaystyle {\vec {M}}={\frac {\vec {dL}}{dt}},}$

gdzie:

${\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}},}$

gdzie ${\displaystyle M}$ jest momentem siły względem obranego punktu odniesienia, a ${\displaystyle L}$ – krętem (momentem pędu) względem tego samego punktu odniesienia.

Jeżeli obrót odbywa się względem osi stałej lub sztywnej wówczas druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego może być napisana w następujący sposób:

${\displaystyle {\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\varepsilon }},}$

gdzie ${\displaystyle M}$ oznacza moment siły a ${\displaystyle I}$ moment bezwładności względem osi obrotu.

Gdy brak momentu sił zewnętrznych ${\displaystyle (M=0),}$ z pierwszego wzoru można otrzymać równanie ilustrujące zasadę zachowania momentu pędu

${\displaystyle {\frac {\vec {dL}}{dt}}=0,}$

${\displaystyle {\vec {L}}=\operatorname {const} .}$

Gdy oś obrotu jest ustalona, brak momentu sił oznacza stałość prędkości kątowej, ponieważ

${\displaystyle L=I{\vec {\omega }}=\operatorname {const} ,}$

co przy stałości ${\displaystyle I}$ oznacza

${\displaystyle {\vec {\omega }}=\operatorname {const} .}$

Ruch taki nazywany jest jednostajnym ruchem obrotowym.

• druga zasada dynamiki ruchu obrotowego
• prędkość obrotowa
• ruch harmoniczny
• ruch postępowy
• ruch posuwisto-zwrotny

• Robert Resnick, David Halliday: Podstawy fizyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-09323-4.