Tensor momentu bezwładności – tensor drugiego rzędu opisujący moment bezwładności. Występuje on w równaniu wiążącym moment pędu z prędkością kątową dla danego ciała
![{\displaystyle {\vec {L}}={\hat {I}}{\vec {\omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16a1975aea084de2a18b017fc1c96829399db12)
gdzie:
– moment pędu,
– tensor momentu bezwładności,
– prędkość kątowa.
Tensor bezwładności zapisany jako macierz wygląda następująco
![{\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45bb19a868f53ff8c19e704b67cf1a0a8c13ee7)
Współczynniki diagonalne (leżące na głównej przekątnej) nazywamy momentami głównymi, natomiast pozadiagonalne momentami dewiacji.
Wartości współczynników tensora momentu bezwładności, w przypadku dyskretnego rozkładu masy, definiuje się przez
![{\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}\delta _{ij}-r_{ki}r_{kj}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73b5dfd6147e4cceb5e179a39932853f94ebca9)
gdzie:
jest deltą Kroneckera,
![{\displaystyle r_{k3}=z_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac700663e035abdc62764ffff5d78b333a9c46b)
– odległość punktu od początku układu współrzędnych, spełnia on zależność: ![{\displaystyle r_{k}^{2}=x_{k}^{2}+y_{k}^{2}+z_{k}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d399298dc22843379efe212afc8f627539bdbc36)
Rozpisując powyższy wzór na składowe, otrzymujemy wzory na momenty główne
![{\displaystyle I_{xx}=\sum _{k}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-x_{k}^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378f9889c2e9903a48164d951fef0d5bb1b26dbf)
![{\displaystyle I_{yy}=\sum _{k}m_{k}(z_{k}^{2}+x_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-y_{k}^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac7fffdc57d71f1d6684ed6c267f0194c3b633c)
![{\displaystyle I_{zz}=\sum _{k}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-z_{k}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b0f9f0d7cd847cabbddf9466e3089b420761b4)
oraz momenty dewiacyjne
![{\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=-\sum _{k}m_{k}x_{k}y_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958697320567e752fe5d2b8cbecf8f43d5dd3960)
![{\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=-\sum _{k}m_{k}y_{k}z_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23642e949ecc9e3ccd58f3f4f39aa4183938529b)
![{\displaystyle I_{zx}=I_{xz}=-\sum _{k}m_{k}z_{k}x_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7998fd08e16375ea5f04903d7077e14a612a4d61)
gdzie:
– składowe wektora wodzącego
-tego punktu,
– masa
-tego punktu.
Postać dla rozkładu ciągłego z gęstością masy
o objętości
![{\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{V}\rho (x,y,z)(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5e608a84257914b4b162891cf270c65d90cb09)
Tensor ten jest tensorem symetrycznym (jego macierz jest symetryczna).
Suma składników diagonalnych jest niezależna od wyboru kierunku osi układu współrzędnych. Dowód dla układu punktów:
![{\displaystyle I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=\sum _{k}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2})+\sum _{k}m_{k}(z_{k}^{2}+x_{k}^{2})+\sum _{k}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2})=2\sum _{k}m_{k}r_{k}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc047020c398ee8f6abc6ee05b14687b17da1a46)