Wyróżnik wielomianu – Wikipedia, wolna encyklopedia

Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników danego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne^[1].

Niech ${\displaystyle K}$ będzie dowolnym ciałem (niekoniecznie liczbowym), zaś ${\displaystyle p}$ wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z ciała ${\displaystyle K,}$ co zapisujemy ${\displaystyle p\in K[x].}$ Symbol ${\displaystyle K[x]}$ oznacza pierścień wielomianów o współczynnikach z ${\displaystyle K.}$

Wyróżnik wielomianu stopnia ${\displaystyle n\geqslant 1}$

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0},}$

to element ciała ${\displaystyle K}$ (więc liczba, gdy ciało jest liczbowe)

${\displaystyle D(p)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a_{n}^{n-k-2}R(p,p'),\quad {}}$ gdy ${\displaystyle p'\neq 0}$

i ${\displaystyle {}\ \ \ D(p)=0,\quad {}}$ gdy ${\displaystyle p'=0,}$

gdzie ${\displaystyle R(p,p')}$ to rugownik wielomianu ${\displaystyle p}$ i jego pochodnej ${\displaystyle p',}$ zaś ${\displaystyle k}$ jest stopniem pochodnej ${\displaystyle p'.}$

Jeżeli ${\displaystyle p'=0,}$ to wielomian ${\displaystyle p}$ ma pierwiastki wielokrotne^[a], i stąd postać drugiej części definicji.

Jeżeli stopień ${\displaystyle n}$ wielomianu ${\displaystyle p}$ nie jest wielokrotnością charakterystyki ${\displaystyle \chi (K)}$ ciała (na przykład gdy ${\displaystyle \chi (K)=0}$), to ${\displaystyle k=n-1,}$ a wyrażenie ${\displaystyle a_{n}^{n-k-2}R(p,p')}$ przyjmuje postać ${\displaystyle a_{n}^{-1}R(p,p'),}$ a jeżeli jest wielokrotnością i ${\displaystyle p'\neq 0,}$ to ${\displaystyle k<n-1.}$

W pierwszym przypadku rugownik ${\displaystyle R(p,p')}$ jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia ${\displaystyle 2n-1{:}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\\vdots &&&&&&&&\vdots \\0&\ldots &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots &1a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots &1a_{1}&0&\ldots &0\\\vdots &&&&&&&&\vdots \\0&0&\ldots &0&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\ldots &1a_{1}\end{matrix}}\right].}$

Gdy oznaczymy przez ${\displaystyle P\subset K[x]}$ zbiór wszystkich wielomianów stopnia większego od 0, to wyróżnik jest funkcją ${\displaystyle D\colon P\to K,}$ a jej wartość na określonym wielomianie nazywa się wyróżnikiem tego wielomianu.

Oznaczmy powyższą macierz przez ${\displaystyle M_{n}.}$ Ma ona zawsze stopień ${\displaystyle 2n-1}$ (niezależnie od tego czy ${\displaystyle k<n-1}$) i zachodzi związek ${\displaystyle \det M_{n}=a_{n}^{n-k-1}R(p,p'),}$ więc ogólny wzór definiujący wyróżnik może być zapisany w zgrabnej postaci, obejmującej przypadek zerowej pochodnej

${\displaystyle D(p)=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {1}{a_{n}}}\det M_{n}.}$

Ponieważ (przy ustalonym n) do tego wzoru wchodzą jedynie współczynniki wielomianu, to naturalne jest zdefiniowanie bardziej bezpośrednich funkcji^[2] ${\displaystyle \Delta _{n}\colon K^{n+1}\to K}$ określonych tym samym wzorem co wyróżnik.

${\displaystyle \Delta _{n}(a_{n},\dots ,a_{0})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {1}{a_{n}}}\det M_{n}\quad {}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1.}$

W macierzy ${\displaystyle M_{n}}$ najwyższy współczynnik ${\displaystyle a_{n}}$ jest mnożnikiem pierwszej kolumny, więc można go wyciągnąć przed wyznacznik i uprościć z mianownikiem, skąd wynika, że funkcja ${\displaystyle \Delta _{n}}$ jest wielomianem ${\displaystyle n+1}$ zmiennych.

Niech ${\displaystyle P_{n}\subset P}$ będzie zbiorem wielomianów stopnia ${\displaystyle n}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1,}$ zaś ${\displaystyle \lambda _{n}\colon P_{n}\to K^{n+1}}$ funkcją przyporządkowującą wielomianowi ${\displaystyle p}$ jego współczynniki ${\displaystyle (a_{n},\dots ,a_{0}).}$ Ponieważ wielomian jednoznacznie wyznacza swoje współczynniki i na odwrót, to ${\displaystyle \lambda _{n}}$ jest injekcją. Wobec oczywistej równości

${\displaystyle D|P_{n}=\Delta _{n}\circ \lambda _{n},}$

funkcję ${\displaystyle \Delta _{n}}$ również nazywa się wyróżnikiem (wielomianu stopnia n).

Możliwość wyrażenia wyróżnika przez wyznacznik macierzy o zawsze tej samej postaci, jak w ostatnim wzorze na ${\displaystyle \Delta _{n}(a_{n},\dots ,a_{0}),}$ oznacza, że ten wielomian ma charakter uniwersalny. Stosuje się w każdym przypadku niezależnie od ciała, charakterystyki ciała, czy stopnia pochodnej ${\displaystyle p',}$ choć w pewnych przypadkach ogólne wyrażenie może się upraszczać.

W „matematyce szkolnej” (i nie tylko) stosuje się skrócony zapis, w którym litera ${\displaystyle \Delta }$ bez indeksu oznacza wartość funkcji ${\displaystyle \Delta _{2}}$ (lub ${\displaystyle \Delta _{3}}$) na współczynnikach wielomianu, co ma uzasadnienie nie przeciążaniem notacji.

Wielomian ${\displaystyle p}$ stopnia ${\displaystyle n}$ ma dokładnie ${\displaystyle n}$ pierwiastków z uwzględnieniem ich krotności (być może w ciele szerszym niż ${\displaystyle K}$).

Ponumerujmy te pierwiastki w dowolny sposób: ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},}$ a wtedy ${\displaystyle p(x)=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n}).}$

Kwadrat wyznacznika Vandermonda ${\displaystyle V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ jest wielomianem symetrycznym swych argumentów, co gwarantuje przede wszystkim, że jego wartość nie zależy od sposobu numeracji. Wartość ta wyraża się wzorem

${\displaystyle V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})^{2}.}$

W teorii rugownika dowodzi się, że między rugownikiem wielomianu i jego pochodnej, a kwadratem wyznacznika Vandermonda jego pierwiastków, zachodzi związek

${\displaystyle R(p,p')=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}a_{n}^{n+k}V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\quad {}}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1}$ i ${\displaystyle k\geqslant 0,}$

gdzie ${\displaystyle k}$ jest stopniem pochodnej ${\displaystyle p'.}$

Po wstawieniu do pierwszej definicji wyróżnika otrzymujemy

${\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}V_{n}^{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{n}^{2n-2}\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})^{2}.}$

Ta równość jest często traktowana jako definicja wyróżnika.

Gdy ${\displaystyle n=1,}$ to nie istnieje żadna para wskaźników z ${\displaystyle i<j}$ (iloczyn po zbiorze pustym), więc ${\displaystyle D(p)=a_{1}^{0}\cdot 1=1}$ w zgodzie z pierwszą definicją. Obie definicje są więc całkowicie równoważne, jednak w nowej wyraźnie widoczna jest podstawowa własność wyróżnika. Ponadto wynika stąd, że jeżeli wielomian ${\displaystyle f\in \mathbb {R} [x]}$ ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, to ${\displaystyle D(f)\geqslant 0.}$

Wyróżnik wielomianu stopnia ${\displaystyle n}$ może być obliczony z definicji jako wyznacznik macierzy Sylvestera stopnia ${\displaystyle 2n-1.}$ Jednak można go także wyrazić jako wyznacznik pewnej macierzy symetrycznej ${\displaystyle A_{n}}$ stopnia ${\displaystyle n,}$ aczkolwiek o bardziej skomplikowanych wyrazach. Dowód opiera się na teorii wielomianów symetrycznych. Niżej podana jest definicja rekursyjna macierzy ${\displaystyle A_{n}.}$

Oznaczmy przez ${\displaystyle I_{n}}$ macierz jednostkową stopnia ${\displaystyle n.}$ Definiujemy macierze ${\displaystyle J_{n,k}}$ stopnia ${\displaystyle n}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 1}$ i ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n.}$ Gdy oznaczymy współrzędne macierzy ${\displaystyle J_{n,k}}$ przez ${\displaystyle c_{i,j},}$ to ${\displaystyle c_{n-i,k+i}=1}$ dla ${\displaystyle i=0,\dots ,n-k,}$ zaś pozostałe współrzędne są zerami.

Przykłady ${\displaystyle J_{1,1}=\left[{\begin{smallmatrix}1\end{smallmatrix}}\right]=I_{1},\quad J_{2,1}=\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{2,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,1}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{3,3}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right],\quad {}}$ ${\displaystyle J_{4,2}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right],\quad J_{4,3}=\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right].}$

Wszystkie macierze ${\displaystyle J_{n,k}}$ są symetryczne.

W tym podrozdziale wielomiany stopnia ${\displaystyle n}$ będziemy zapisywali w postaci

${\displaystyle f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_{n},}$   gdzie ${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$

Definiujemy macierze ${\displaystyle B_{n}}$ zależne od współczynników wielomianu stopnia ${\displaystyle n.}$

${\displaystyle B_{n}=a_{n}\sum _{k=0}^{n-2}(n-k)a_{k}J_{n,k+2}}$   dla ${\displaystyle n\geqslant 2.}$

Przykłady

${\displaystyle B_{2}=a_{2}\sum _{k=0}^{0}(2-k)a_{k}J_{2,k+2}=a_{2}(2a_{0}J_{2,2})=a_{2}{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{3}=a_{3}\sum _{k=0}^{1}(3-k)a_{k}J_{3,k+2}=a_{3}(3a_{0}J_{3,2}+2a_{1}J_{3,3})=a_{3}{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&3a_{0}\\0&3a_{0}&2a_{1}\end{bmatrix}}.}$

Macierze ${\displaystyle A_{n},}$ których wyznacznik jest wyróżnikiem wielomianu stopnia ${\displaystyle n}$ zdefiniowane są rekursyjnie. Niech ${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}.}$ Jeżeli już określona jest macierz ${\displaystyle A_{n-1},}$ to ${\displaystyle A_{n}=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }-B_{n},}$ gdzie

${\displaystyle L_{n}=\left[{\begin{array}{cccc|c}&&&&-1\\&I_{n-1}&&&0\\&&&&\vdots \\&&&&0\\\hline a_{n-1}&0&\dots &0&0\end{array}}\right],\quad A_{n}^{'}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&0\\&A_{n-1}&&\vdots \\&&&0\\\hline 0&\dots &0&1\end{array}}\right],}$

a ${\displaystyle B_{n}}$ jest macierzą stopnia ${\displaystyle n}$ jak wyżej.

Macierz ${\displaystyle A_{n-1}}$ (i podobnie ${\displaystyle I_{n-1}}$) zajmuje pozycję w lewym górnym narożniku, a poza wskazaną jednością, w ostatniej kolumnie i ostatnim wierszu są same zera.

Łatwo dowieść indukcyjnie, że tak zdefiniowane macierze ${\displaystyle A_{n}}$ są symetryczne.

Dowód: Dla ${\displaystyle n=1}$ jest to oczywiste. Załóżmy w kroku indukcyjnym, że macierz ${\displaystyle A_{n-1}}$ jest symetryczna. Z założenia indukcyjnego i określenia macierzy ${\displaystyle A_{n}^{'}}$ wynika, że ${\displaystyle A_{n}^{'}}$ jest symetryczna, czyli ${\displaystyle A_{n}^{'\operatorname {T} }=A_{n}^{'}.}$

Sprawdźmy, że macierz ${\displaystyle C_{n}=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }}$ jest symetryczna.

${\displaystyle C_{n}^{\operatorname {T} }=(L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} })^{\operatorname {T} }=(L_{n}^{\operatorname {T} })^{\operatorname {T} }A_{n}^{'\operatorname {T} }L_{n}^{\operatorname {T} }=L_{n}A_{n}^{'}L_{n}^{\operatorname {T} }=C_{n}.}$

Macierz ${\displaystyle B_{n}}$ jest symetryczna, bo jest sumą macierzy symetrycznych ${\displaystyle J_{n,k}}$ z pewnymi współczynnikami. Zatem ${\displaystyle A_{n},}$ jako różnica ${\displaystyle C_{n}-B_{n}}$ macierzy symetrycznych, jest symetryczna, co kończy krok indukcyjny.

Przykładowe pierwsze kroki rekursji są następujące.

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},}$   ${\displaystyle A_{2}=L_{2}A_{2}^{'}L_{2}^{\operatorname {T} }-B_{2},}$

gdzie ${\displaystyle A_{2}^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I_{2},\quad L_{2}={\begin{bmatrix}1&-1\\a_{1}&0\end{bmatrix}},\quad B_{2}=a_{2}{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}\end{bmatrix}}.}$

Stąd ${\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}1&-1\\a_{1}&0\end{bmatrix}}I_{2}{\begin{bmatrix}1&a_{1}\\-1&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0\\0&2a_{0}a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&a_{1}\\a_{1}&a_{1}^{2}-2a_{0}a_{2}\end{bmatrix}}.}$

Zmieńmy teraz oznaczenia współczynników wielomianu ${\displaystyle f(x)=a_{0}x^{2}+a_{1}x+a_{2},}$ przyjmując ${\displaystyle a_{0}=a,\ a_{1}=b,\ a_{2}=c,\dots }$ itd., także dla wielomianów wyższych stopni.

Otrzymaliśmy ${\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}2&b\\b&b^{2}-2ac\end{bmatrix}}}$

i możemy wyliczyć macierz ${\displaystyle A_{3}=L_{3}A_{3}^{'}L_{3}^{\operatorname {T} }-B_{3}.}$

${\displaystyle A_{3}={\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\c&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&b&0\\b&b^{2}-2ac&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&c\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&3ad\\0&3ad&2bd\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&b&2c\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd\end{bmatrix}}.}$

Licząc w ten sposób dalej, dostajemy

${\displaystyle A_{4}={\begin{bmatrix}4&b&2c&3d\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad&bd-4ae\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd-4ae&2cd-3be\\3d&bd-4ae&2cd-3be&3d^{2}-2ce\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle A_{5}={\begin{bmatrix}5&b&2c&3d&4e\\b&b^{2}-2ac&bc-3ad&bd-4ae&be-5af\\2c&bc-3ad&2c^{2}-2bd-4ae&2cd-3be-5af&2ce-4bf\\3d&bd-4ae&2cd-3be-5af&3d^{2}-2ce-4bf&3de-3cf\\4e&be-5af&2ce-4bf&3de-3cf&4e^{2}-2df\end{bmatrix}}.}$

Wyróżniki odpowiednich wielomianów są wyznacznikami tych macierzy, czyli

${\displaystyle \Delta _{1}(a,b)=\det A_{1},\quad \Delta _{2}(a,b,c)=\det A_{2},\;\dots \;,\;\Delta _{5}(a,b,c,d,e,f)=\det A_{5}.}$

Wyróżnik wielomianu stopnia ${\displaystyle n}$ jest wielomianem jednorodnym stopnia ${\displaystyle 2n-2}$ zależnym od ${\displaystyle n+1}$ zmiennych – współczynników wielomianu.

Dla dwóch wielomianów ${\displaystyle f,g\in K[x]}$ spełniających ${\displaystyle n=\max(\deg(f),\deg(g))\geqslant 1}$ (jeden z nich może być zerowy, jeśli drugi ma dodatni stopień) zdefiniowana jest macierz Bezouta stopnia ${\displaystyle n.}$ Zwykle oznacza się ją ${\displaystyle B_{n}(f,g).}$ Niżej przytoczone są tylko podstawowe informacje o tej macierzy wystarczające dla celów niniejszego artykułu, to znaczy bez dokładnej definicji, bez wzorów określających jej współrzędne i bez własności, ponieważ szczegóły znajdują się we wskazanym artykule.

1. Współrzędne macierzy Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$ zależą od współczynników wielomianów ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ i wyrażają się wielomianowo przez te współczynniki, czyli należą do ciała ${\displaystyle K.}$

2. Macierz ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$ jest symetryczna.

3. Istnieją jawne wzory określające jej współrzędne, a więc bez użycia rekursji i bez znajomości żadnej macierzy Bezouta niższego stopnia. Tutaj nie są przytoczone, gdyż wystarczająca jest tylko informacja, że takie wzory istnieją.

W szczególnym przypadku, gdy ${\displaystyle g=f',}$ (${\displaystyle g}$ jest pochodną wielomianu ${\displaystyle f}$), macierz Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f,f')}$ oznacza się przez ${\displaystyle B_{n}(f).}$ W myśl powyższych określeń stopień macierzy ${\displaystyle n=\deg(f),}$ więc wielomian ${\displaystyle f}$ musi być dodatniego stopnia.

Dalej rozważane są już tylko macierze Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f).}$

Przyjmijmy takie oznaczenia współczynników wielomianu, by dla ${\displaystyle n=1}$ wielomian miał postać ${\displaystyle f(x)=ax+b,}$ dla ${\displaystyle n=2}$ postać ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$ i podobnie dla wyższych stopni.

Przykładowe macierze Bezouta wielomianów niższych stopni są następujące: ${\displaystyle B_{1}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{2}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}b^{2}-2ac&ab\\ab&2a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{3}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}c^{2}-2bd&bc-3ad&ac\\bc-3ad&2b^{2}-2ac&2ab\\ac&2ab&3a^{2}\end{smallmatrix}}\right],\;B_{4}(f)=\left[{\begin{smallmatrix}d^{2}-2ce&cd-3be&bd-4ae&ad\\cd-3be&2c^{2}-2bd-4ae&2bc-3ad&2ac\\bd-4ae&2bc-3ad&3b^{2}-2ac&3ab\\ad&2ac&3ab&4a^{2}\end{smallmatrix}}\right].}$

Pewien ciąg prostych przekształceń prowadzi od macierzy ${\displaystyle B_{n}(f)}$ do macierzy ${\displaystyle A_{n},}$ co stanowi związek między nimi.

Pomnożenie dowolnej macierzy przez ${\displaystyle J_{n,1}}$ z lewej strony powoduje odwrócenie kolejności jej wierszy, a z prawej strony – kolejności kolumn. Gdy dana macierz jest symetryczna, to pomnożenie jej z obu stron przez ${\displaystyle J_{n,1}}$ jest odbiciem względem antydiagonali.

Macierz Bezouta odbita względem antydiagonali ${\displaystyle J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}}$ może być także nazywana (przy pewnej tolerancji dla terminologii) macierzą Bezouta. To przekształcenie nie jest bardzo istotne z teoretycznego punktu widzenia, nie zmienia wyznacznika (bo ${\displaystyle \det J_{n,1}=(-1)^{n(n-1)/2}}$), a ponadto w literaturze często spotyka się taką definicję macierzy Bezouta, że od samego początku ma ona tę przekształconą postać, co dodatkowo uzasadnia nazwę.

Ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f)}$ wynika, że najwyższy współczynnik ${\displaystyle a}$ wielomianu jest mnożnikiem ostatniego wiersza i ostatniej kolumny, a więc pierwszego wiersza i pierwszej kolumny w macierzy ${\displaystyle J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}.}$

Wprowadźmy oznaczenie ${\displaystyle D_{n}(t)=\operatorname {diag} (t,1,\dots ,1).}$ Mnożenie przez tę macierz z lewej strony mnoży pierwszy wiersz przez ${\displaystyle t,}$ a mnożenie z prawej strony mnoży przez ${\displaystyle t}$ pierwszą kolumnę, więc mnożenie z obu stron przez ${\displaystyle D_{n}(a^{-1})}$ usuwa „nadmiarowy” czynnik. Oznaczmy nową macierz przez ${\displaystyle C_{n}(f),}$ czyli

${\displaystyle C_{n}(f)=D_{n}(a^{-1})J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}D_{n}(a^{-1}).}$

Tej macierzy nie można już nazywać macierzą Bezouta, bo ma ona nie tylko inne współrzędne, lecz także inny wyznacznik (w ogólności)

${\displaystyle \det C_{n}(f)=a^{-2}\det B_{n}(f).}$

Na przykład

${\displaystyle C_{3}(f)=D_{3}(a^{-1})J_{3,1}B_{3}(f)J_{3,1}D_{3}(a^{-1})=\left[{\begin{smallmatrix}3&2b&c\\2b&2b^{2}-2ac&bc-3ad\\c&bc-3ad&c^{2}-2bd\end{smallmatrix}}\right].}$

Jest ona zbliżona pokrojem do macierzy ${\displaystyle A_{3},}$ ale wciąż różna od niej. Kilka operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy ${\displaystyle C_{3}(f),}$ nie naruszających jej symetryczności, przekształca ją w ${\displaystyle A_{3}.}$

Od drugiego wiersza odejmijmy pierwszy wiersz pomnożony przez ${\displaystyle b,}$ od wiersza trzeciego odejmijmy wiersz pierwszy pomnożony przez ${\displaystyle c,}$ i zastosujmy analogiczne operacje do kolumn. Wreszcie pierwszy wiersz pomnóżmy przez ${\displaystyle -1}$ i pierwszą kolumnę też przez ${\displaystyle -1.}$ Macierz przekształcona jest równa ${\displaystyle A_{3}.}$

W zapisie macierzowym te elementarne operacje na kolumnach są określone macierzą

${\displaystyle F_{3}={\begin{bmatrix}-1&-b&-c\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$

a dla wierszy jest to macierz ${\displaystyle F_{3}^{\operatorname {T} },}$ czyli ${\displaystyle A_{3}=F_{3}^{\operatorname {T} }C_{3}(f)F_{3}.}$

Ogólnie, przy odwróconym indeksowaniu współczynników wielomianu, tzn. ${\displaystyle f(x)=a_{0}x^{n}+\dots +a_{n},}$

${\displaystyle F_{n}={\begin{bmatrix}-1&-a_{1}&\dots &-a_{n-1}\\&1&&\\&&\ddots &\\&&&1\end{bmatrix}}}$

i ${\displaystyle A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}.}$

Ponieważ ${\displaystyle \det F_{n}=-1,}$ to ${\displaystyle \det A_{n}=\det C_{n}(f),}$ więc otrzymujemy związek pomiędzy wyróżnikiem i macierzą Bezouta

${\displaystyle D(f)=a_{0}^{-2}\det B_{n}(f).}$

Macierz ${\displaystyle F_{n}}$ jest inwolutywna, to znaczy ${\displaystyle F_{n}^{2}=I_{n},}$ skąd wynika, że wykonanie identycznych operacji elementarnych na macierzy ${\displaystyle A_{n}}$ przekształca ją z powrotem w ${\displaystyle C_{n}(f),}$ ponieważ

${\displaystyle F_{n}^{\operatorname {T} }A_{n}F_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}F_{n}=I_{n}C_{n}(f)I_{n}=C_{n}(f).}$

Zatem macierze ${\displaystyle C_{n}(f)}$ i ${\displaystyle A_{n}}$ przekształcają się wzajemnie na siebie pod działaniem operacji ${\displaystyle F_{n}.}$

Związek pomiędzy macierzą ${\displaystyle A_{n}}$ i macierzą Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f)}$ wyraża się, po uwzględnieniu wszystkich zastosowanych przekształceń, równością

${\displaystyle A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }D_{n}(a^{-1})J_{n,1}B_{n}(f)J_{n,1}D_{n}(a^{-1})F_{n}}$

i na odwrót

${\displaystyle B_{n}(f)=J_{n,1}D_{n}(a)F_{n}^{\operatorname {T} }A_{n}F_{n}D_{n}(a)J_{n,1}.}$

Choć ${\displaystyle A_{n}}$ nie jest macierzą Bezouta, to widoczny jest bliski związek między nimi.

Podsumowanie
1. Macierz ${\displaystyle A_{n}}$ nie musi być z konieczności obliczana rekursyjnie, bo można skorzystać ze wzorów na współrzędne macierzy Bezouta ${\displaystyle B_{n}(f)}$ i natychmiast otrzymać ${\displaystyle C_{n}(f),}$ a następnie obliczyć ${\displaystyle A_{n}=F_{n}^{\operatorname {T} }C_{n}(f)F_{n}.}$

2. Dla wielomianu stopnia ${\displaystyle n}$ istnieją macierze stopnia ${\displaystyle n,}$ których wyznacznik jest wyróżnikiem tego wielomianu i niezależnie od sposobu ich obliczenia (z użyciem rekursji lub bez niej) mogą w pewnych przypadkach ułatwiać obliczenie wyróżnika. Jest oczywiste, że można wybrać tę macierz, której wyznacznik oblicza się prościej.

1. Wyróżnik wielomianu stopnia 1

${\displaystyle f(x)=ax+b}$

${\displaystyle \Delta _{1}(a,b)=1}$

2. Wyróżnik wielomianu stopnia 2

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle \Delta _{2}(a,b,c)=-4ac+b^{2}}$

3. Wyróżnik wielomianu stopnia 3

${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

${\displaystyle \Delta _{3}(a,b,c,d)=-27a^{2}d^{2}+18abcd-4ac^{3}-4b^{3}d+b^{2}c^{2}}$

4. Wyróżnik wielomianu stopnia 4

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$

${\displaystyle \Delta _{4}(a,b,c,d,e)=}$

${\displaystyle 256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de}$

${\displaystyle +18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}}$

5. Wyróżnik wielomianu stopnia 5

    W celu zwiększenia przejrzystości wyróżnik ten (a także następny) został umieszczony w tabeli, a jego składniki
    uporządkowane leksykograficznie (jak w zapisie poprzednich wyróżników).

${\displaystyle p(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f}$

${\displaystyle \Delta _{5}(a,b,c,d,e,f)=}$

Nr	Znak	Czynnik	Jednomian		Nr	Znak	Czynnik	Jednomian		Nr	Znak	Czynnik	Jednomian
1	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3125}$	${\displaystyle a^{4}f^{4}}$		21	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle a^{2}cd^{2}e^{3}}$		41	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle ac^{4}e^{3}}$
2	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2500}$	${\displaystyle a^{3}bef^{3}}$		22	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle a^{2}d^{5}f}$		42	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle ac^{3}d^{3}f}$
3	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 3750}$	${\displaystyle a^{3}cdf^{3}}$		23	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27}$	${\displaystyle a^{2}d^{4}e^{2}}$		43	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle ac^{3}d^{2}e^{2}}$
4	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2000}$	${\displaystyle a^{3}ce^{2}f^{2}}$		24	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1600}$	${\displaystyle ab^{3}cf^{3}}$		44	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 256}$	${\displaystyle b^{5}f^{3}}$
5	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2250}$	${\displaystyle a^{3}d^{2}ef^{2}}$		25	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 160}$	${\displaystyle ab^{3}def^{2}}$		45	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 192}$	${\displaystyle b^{4}cef^{2}}$
6	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 1600}$	${\displaystyle a^{3}de^{3}f}$		26	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 36}$	${\displaystyle ab^{3}e^{3}f}$		46	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 128}$	${\displaystyle b^{4}d^{2}f^{2}}$
7	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 256}$	${\displaystyle a^{3}e^{5}}$		27	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1020}$	${\displaystyle ab^{2}c^{2}ef^{2}}$		47	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle b^{4}de^{2}f}$
8	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2000}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}df^{3}}$		28	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 560}$	${\displaystyle ab^{2}cd^{2}f^{2}}$		48	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27}$	${\displaystyle b^{4}e^{4}}$
9	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 50}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}e^{2}f^{2}}$		29	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 746}$	${\displaystyle ab^{2}cde^{2}f}$		49	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle b^{3}c^{2}df^{2}}$
10	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2250}$	${\displaystyle a^{2}bc^{2}f^{3}}$		30	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 144}$	${\displaystyle ab^{2}ce^{4}}$		50	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle b^{3}c^{2}e^{2}f}$
11	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2050}$	${\displaystyle a^{2}bcdef^{2}}$		31	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle ab^{2}d^{3}ef}$		51	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 80}$	${\displaystyle b^{3}cd^{2}ef}$
12	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 160}$	${\displaystyle a^{2}bce^{3}f}$		32	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle ab^{2}d^{2}e^{3}}$		52	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle b^{3}cde^{3}}$
13	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 900}$	${\displaystyle a^{2}bd^{3}f^{2}}$		33	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 630}$	${\displaystyle abc^{3}df^{2}}$		53	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 16}$	${\displaystyle b^{3}d^{4}f}$
14	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1020}$	${\displaystyle a^{2}bd^{2}e^{2}f}$		34	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle abc^{3}e^{2}f}$		54	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle b^{3}d^{3}e^{2}}$
15	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 192}$	${\displaystyle a^{2}bde^{4}}$		35	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 356}$	${\displaystyle abc^{2}d^{2}ef}$		55	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 27}$	${\displaystyle b^{2}c^{4}f^{2}}$
16	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 900}$	${\displaystyle a^{2}c^{3}ef^{2}}$		36	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 80}$	${\displaystyle abc^{2}de^{3}}$		56	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle b^{2}c^{3}def}$
17	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 825}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}d^{2}f^{2}}$		37	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 72}$	${\displaystyle abcd^{4}f}$		57	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle b^{2}c^{3}e^{3}}$
18	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 560}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}de^{2}f}$		38	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle abcd^{3}e^{2}}$		58	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle b^{2}c^{2}d^{3}f}$
19	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 128}$	${\displaystyle a^{2}c^{2}e^{4}}$		39	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 108}$	${\displaystyle ac^{5}f^{2}}$		59	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle b^{2}c^{2}d^{2}e^{2}}$
20	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 630}$	${\displaystyle a^{2}cd^{3}ef}$		40	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 72}$	${\displaystyle ac^{4}def}$

6. Wyróżnik wielomianu stopnia 6

${\displaystyle p(x)=ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g}$

${\displaystyle \Delta _{6}(a,b,c,d,e,f,g)=}$

Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom		Nr	Z	Czyn	Jednom
1	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 46656}$	${\displaystyle a^{5}g^{5}}$		51	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 31320}$	${\displaystyle a^{2}b^{2}cdfg^{3}}$		101	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 4860}$	${\displaystyle a^{2}cd^{4}eg^{2}}$		151	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle a{b}^2{d}^2{e}^3{f}^{}}$