Constante de Mills – Wikipédia, a enciclopédia livre
Na teoria dos números, a constante de Mills é definida como o menor real positivo A tal que a função piso da dupla exponencial:
é um número primo para todos os inteiros positivos n. A constante possui este nome em homenagem a William H. Mills, que provou em 1947 a existência de A, baseado em resultados de Guido Hoheisel e Albert Ingham sobre intervalos entre primos consecutivos. Seu valor é desconhecido, mas se a hipótese de Riemann for verdadeira, seu valor é de aproximadamente 1.3063778838630806904686144926... (sequência A051021 na OEIS)[1].
Primos de Mills
[editar | editar código-fonte]Os primos gerados pela constante de Mills são conhecidos como Primos de Mills[2]. Se a hipótese de Riemann for verdadeira, seus primeiros termos são:
2, 11, 1361, 2521008887, 16022236204009818131831320183, 4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499, ... (sequencia A051254 na OEIS).
Atualmente, o maior primo de Mills conhecido (sob a hipótese de Riemann) é:
com um comprimento de 20562 dígitos.
Sketch da Prova
[editar | editar código-fonte]Dada uma sequência de inteiros positivos, provaremos que basta que para que exista A tal que para todo n.
Para isso, considere a sequência de intervalos onde . A condição implica que . Segue, portanto, do teorema dos intervalos encaixantes, que existe um número real A que está em todos estes intervalos. Esse número satisfaz o desejado, pois .
Portanto para provar a existência da constante de Mills, basta provar que existe uma sequência de primos tais que para todo n. A existência desta sequência segue, por exemplo, de um resultado de Cheng[3], que implica que há ao menos um primo entre n^3 e (n+1)^3 para todo n suficientemente grande. Se assumirmos a hipótese de Riemann, temos ainda que existe tal sequência de primos com , e que que gera o real A minimal pode ser obtida recursivamente, tomando-se como o menor primo maior que .
Cálculo Numérico
[editar | editar código-fonte]Calculando-se a sequência dos primos de Mills, pode-se aproximar a constante de Mills como:
Caldwell e Cheng (2005)[4] usaram este método para calcular quase 7 mil dígitos da constante na base 10, assumindo a hipótese de Riemann. Não se conhece uma fórmula fechada para esta constante, e nem se sabe se é um número racional[5].
Referências
- ↑ «Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem». Jounal of Integer Sequences, Vol. 8 (2005) line feed character character in
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at position 42 (ajuda) - ↑ «Mill's Constant»
- ↑ «Explicit Estimate on Primes Between Consecutive Cubes». Rocky Mt. J. Math. 40
- ↑ «Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem»
- ↑ Finch, Steven R (2003). Mathematical Constants. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 130-133. ISBN 0-521-81805-2