Desigualdade de Weyl – Wikipédia, a enciclopédia livre
Em álgebra linear, Desigualdade de Weyl é um teorema sobre como os autovalores de um matriz hermitiana são perturbados. Esse teorema de 1912 carrega o nome de seu autor Hermann Weyl. Esse resultado é útil se quisermos saber os autovalores da matriz Hermitiana H, mas há uma incerteza sobre as entradas de H.[1] Este resultado era conhecido no Século 19, mas não foi publicado na íntegra [2]
Seja H a matriz exata e P ser uma matriz de perturbação que representa a incerteza. Considere a matriz . Seja M com autovalores , H com autovalores e P com autovalores
O teorema afirma que se M, H e P são todas matrizes Hermitianas n por n, então a seguinte desigualdade vale para :
Se P é positiva definida (e.g. ) então isso implica que
Note que podemos ordenar os autovalores porque as matrizes são Hermitiana e, portanto, os autovalores são reais.
Teoria dos números
[editar | editar código-fonte]Na teoria dos números, a desigualdade de Weyl afirma que se M, N, a e q são inteiros, com a e q co-primo, q > 0, e f é um polinômio real de grau k cujo coeficiente líder c satisfaz
para algum t maior ou igual a 1, então para qualquer número real positivo temos
Essa desigualdade só será útil quando
pois, de outra forma, estimar o módulo da soma exponencial[nota 1] por meio da desigualdade de triângulo como fornece um melhor limite.
Ver também
[editar | editar código-fonte]Notas e referências
Notas
- ↑ Uma série de Fourier finita (ou seja, um polinômio trigonométrico), ou outra soma finita formada usando a função exponencial, geralmente expressa por meio da função
Referências
- ↑ Helmut Wielandt, Bertram Huppert & Hans Schneider: Mathematische Werke: Linear algebra and analysis, Walter de Gruyter, 1996, ISBN 9783110124538 S.166
- ↑ Beresford Parlett: The symmetric eigenvalue problem. SIAM 1980, 1998, ISBN 0-13-880047-2, Kapitel 10-3, S.208