Desvio padrão – Wikipédia, a enciclopédia livre

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Em probabilidade, o desvio padrão ou desvio padrão populacional (comumente representado pela letra grega ${\displaystyle \sigma }$) é uma medida de dispersão em torno da média populacional de uma variável aleatória. O termo possui também uma acepção específica no campo da estatística, na qual também é chamado de desvio padrão amostral (comumente representado pela letra latina ${\displaystyle s}$) e indica uma medida de dispersão dos dados em torno de média amostral. Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado.^[1] Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados por uma ampla gama de valores. O desvio padrão populacional ou amostral é a raiz quadrada da variância populacional ou amostral correspondente, de modo a ser uma medida de dispersão que seja um número não negativo e que use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos.^[2][3][4]

Tanto em probabilidade quanto em estatística, o desvio padrão é usado para expressar outros conceitos matemáticos importantes como o coeficiente de correlação, o coeficiente de variação ou a alocação ótima de Neyman, dentre outros. Há também outras medidas de desvio como o desvio médio absoluto, que fornecem propriedades matemáticas diferentes a partir do desvio padrão.^[5] O desvio padrão é mais simples, porém mais robusto que o desvio médio absoluto na prática.^[6][7] Além de expressar a variabilidade da população, o desvio padrão comumente é usado para medir a confiança em cálculos estatísticos e geralmente permite sintetizar os resultados de uma experiência repetida várias vezes.^[8] Por exemplo, a margem de erro de um conjunto de dados é determinada pelo cálculo do desvio padrão da média ou do desvio padrão populacional inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra, se a mesma pesquisa for repetida várias vezes.^[9]

Esta derivação do desvio padrão geralmente é chamada de erro padrão da estimativa ou erro padrão da média (em referência à média). O erro padrão da média é calculado a partir do desvio padrão das médias, as quais poderiam ser computadas a partir de uma população se um número infinito de amostras e uma média para cada amostra fossem considerados. A margem de erro de uma pesquisa é calculada a partir do erro padrão da média (produto do desvio padrão populacional e do inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra), e cerca do dobro do erro padrão da média é a metade da largura de 95% do intervalo de confiança para a média (populacional).^[10]

O desvio padrão é calculado em todas as áreas que usam probabilidade e estatística, em particular biologia, finanças, física e pesquisas em geral. Em ciência, os pesquisadores comumente reportam o desvio padrão dos dados experimentais. Em geral, apenas os efeitos mais de dois desvios padrões distantes do esperado são considerados estatisticamente significativos – por meio de erro aleatório normal ou variação nas medições podem-se distinguir os efeitos prováveis dos efeitos genuínos.^[11] Quando apenas uma amostra dos dados da população está disponível, o termo desvio padrão amostral pode referir-se tanto à quantidade mencionada acima quanto a uma quantidade modificada que seja uma estimativa não enviesada do desvio padrão populacional. Quando o desvio padrão populacional não é conhecido, o seu valor é aproximado por meio do desvio padrão amostral.^[10]

O desvio padrão é uma grandeza que remete ao século XIX, no contexto do desenvolvimento da estatística no Reino Unido. Enquanto o conceito de medida de dispersão foi criado por Abraham de Moivre e usado em seu livro The Doctrine of Chances em 1718,^[12] o termo desvio padrão foi pontualmente usado pela primeira vez por Karl Pearson em 1894,^[13][14] em substituição a termos anteriores como erro médio, utilizado por Carl Friedrich Gauss.^[15] O símbolo ${\displaystyle \sigma }$ também foi utilizado pela primeira vez por Karl Pearson para representar o desvio padrão.^[14]

Em 1908, William Gosset (mais conhecido sob o pseudônimo Student) definiu o desvio padrão empírico de uma amostra e mostrou que a distinção entre o desvio padrão amostral e o desvio padrão populacional é importante.^[14] Somente em 1918, Ronald Aylmer Fisher definiu a noção da variância no texto The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.^[16]

Seja ${\displaystyle X}$ uma variável aleatória com média ${\displaystyle \mu }$ e valor esperado ${\displaystyle E[X]=\mu }$. Então, o desvio padrão de ${\displaystyle X}$ pela definição é a raiz quadrada da variância de ${\displaystyle X}$ ou a raiz quadrada do valor médio de ${\displaystyle (X-\mu )^{2}}$^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &:={\sqrt {{\rm {Var}}[X]}}={\sqrt {\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]+\operatorname {E} [-2\mu X]+\operatorname {E} [\mu ^{2}]}}&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu \operatorname {E} [X]+\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}}}&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}}}.\end{aligned}}}$

A fórmula foi derivada a partir das propriedades da esperança.^[17]

Quando ${\displaystyle X}$ é uma variável aleatória de um conjunto de dados finito ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}}$, com cada valor tendo a mesma probabilidade ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$, o desvio padrão é:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}}$,

em que ${\displaystyle \mu }$ é a esperança da variável ${\displaystyle X}$, sendo ${\displaystyle \mu ={\rm {E}}[X]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$.^[17]

Se os valores tiverem probabilidades diferentes em vez de probabilidade iguais (se ${\displaystyle x_{1}}$ tiver probabilidade ${\displaystyle p_{1}}$, se ${\displaystyle x_{2}}$ tiver probabilidade ${\displaystyle p_{2}}$, ... , se ${\displaystyle x_{N}}$ tiver probabilidade ${\displaystyle p_{N}}$), o desvio padrão é:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}}$,

em que ${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}}$.^[17]

O desvio padrão de uma variável aleatória contínua ${\displaystyle X}$ com função densidade ${\displaystyle p(x)}$ é:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}\,p(x)\,{\rm {d}}x}}}$,

em que ${\displaystyle \mu ={\rm {E}}[X]=\int _{\mathbb {R} }x\,p(x)\,{\rm {d}}x}$.^[18]

No caso de uma família paramétrica de uma distribuição, o desvio padrão pode ser expresso em termos de parâmetros. Por exemplo, no caso da distribuição log–normal com parâmetros ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, com ${\displaystyle \ln X}$ com distribuição normal com parâmetros ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, o desvio padrão é ${\displaystyle {\bigl [}(\exp(\sigma ^{2})-1)\exp(2\mu +\sigma ^{2}){\bigr ]}^{\frac {1}{2}}}$.^[19]

Distribuição	Parâmetros	Descrição	Desvio padrão
Distribuição de Bernoulli[20]	${\displaystyle p}$	Distribuição discreta de valor 0 com probabilidade ${\displaystyle 1-p}$ e 1 com probabilidade ${\displaystyle p}$.	${\displaystyle \sigma ={\sqrt {p(1-p)}}}$
Distribuição binomial[21]	${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$	Distribuição da soma de ${\displaystyle n}$ variáveis independentes de acordo com a distribuição de Bernoulli de parâmetro ${\displaystyle p}$.	${\displaystyle \sigma ={\sqrt {np(1-p)}}}$
Distribuição geométrica[22]	${\displaystyle p}$	Distribuição discreta em ${\displaystyle \mathbb {N} }$, tal que a probabilidade de se obter o número inteiro ${\displaystyle n}$ é ${\displaystyle (1-p)p^{n}}$.	${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {1-p}{p^{2}}}}}$
Distribuição uniforme[23]	${\displaystyle a<b}$	Distribuição uniforme contínua em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, cuja densidade é um múltiplo da função indicadora de ${\displaystyle [a,b]}$.	${\displaystyle \sigma ={\frac {b-a}{\sqrt {12}}}}$
Distribuição exponencial[23]	${\displaystyle p}$	Distribuição uniforme contínua com suporte ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$, cuja densidade é a função${\displaystyle f\colon x\mapsto p\exp(-px)}$.	${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{p}}}$
Distribuição de Poisson[24]	${\displaystyle \lambda }$	Distribuição em ${\displaystyle \mathbb {N} }$, cuja densidade é a função ${\displaystyle f\colon x\mapsto \exp(-\lambda ){\frac {\lambda ^{x}}{x!}}}$, em que ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}$.	${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\lambda }}}$
Distribuição qui-quadrado[25]	${\displaystyle n}$	Distribuição em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, cuja densidade é a função ${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {1}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}$ para todo ${\displaystyle x}$ positivo, em que ${\displaystyle \Gamma }$ é a função gama.	${\displaystyle \sigma ={\sqrt {2n}}}$
Distribuição gama[25]	${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle x}$	Distribuição de probabilidade contínua, cuja densidade é a função ${\displaystyle f(x;{\alpha },r)={\frac {\alpha }{\Gamma (r)}}(\alpha x)^{r-1}e^{-\alpha x},}$ para todo ${\displaystyle x}$ positivo, em que ${\displaystyle \Gamma }$ é a função gama.	${\displaystyle \sigma ={\frac {\sqrt {r}}{\alpha }}}$

O desvio padrão de uma distribuição de probabilidade univariada é igual ao desvio padrão de uma variável aleatória com a mesma distribuição. Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, uma vez que os valores esperados podem não existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que segue uma distribuição de Cauchy é indefinido porque seu valor esperado é indefinido.^[26]

1. O desvio padrão é sempre positivo ou nulo.^[27] O desvio padrão de uma constante é nulo.^[28]
2. O desvio padrão de uma variável aleatória ${\displaystyle X}$ à qual foi adicionada uma constante ${\displaystyle Y=X+a}$ é igual ao desvio padrão da variável aleatória ${\displaystyle X}$, uma propriedade chamada invariante por translação.^[28]
3. O desvio padrão de uma variável multiplicada por uma constante positiva é igual à constante multiplicada pelo desvio padrão da variável, uma propriedade chamada invariante por dilatação, que pode ser resumida como ${\displaystyle \sigma _{cX+b}=c\sigma _{X}}$. Propriedades como invariante de dilatação são consequências diretas do teorema de Huygens e das propriedades de valor esperado.^[29]
4. O desvio padrão da soma algébrica de duas variáveis é igual a ${\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\sigma _{X}\sigma _{Y}\rho (X,Y)}}}$, em que ${\displaystyle \rho (X,Y)}$ é o coeficiente de correlação entre as duas variáveis ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$.^[30]
5. O desvio padrão segue a desigualdade triangular ${\displaystyle \sigma _{X+Y}\leq \sigma _{X}+\sigma _{Y}}$. Existe igualdade se e somente se existe uma relação linear quase certa entre as duas variáveis ${\displaystyle Y=cX+b}$. A desigualdade decorre da desigualdade anterior e da desigualdade ${\displaystyle -1\leq \rho (X,Y)\leq 1}$.^[31]
6. A função ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}:c\rightarrow {\sqrt {(|X-c|^{2})}}}$ admite o ponto mínimo ${\displaystyle c=E(X)}$. Portanto, assumindo–se no ponto o valor do desvio padrão da variável aleatória ${\displaystyle X}$.^[32]

Em probabilidade, o desvio padrão compara as variáveis ou as suas distribuições.^[17]

Se ${\displaystyle X}$ é uma variável aleatória com desvio padrão não nulo, é possível fazê–la corresponder à variável aleatória centrada reduzida${\displaystyle Z={\frac {X-{\bar {X}}}{\sigma }}}$. Duas variáveis aleatórias centradas e reduzidas ${\displaystyle Z_{1}}$e ${\displaystyle Z_{2}}$ são fáceis de comparar, uma vez que ${\displaystyle E(Z_{i})=0}$ e ${\displaystyle \sigma _{Z_{i}}=1}$.^[33]

O teorema central do limite é o limite de uma sequência de variáveis aleatórias centradas reduzidas,^[34] os coeficientes de assimetria e a curtose de uma densidade de probabilidade ${\displaystyle E[Z^{3}]}$ e ${\displaystyle E[Z^{4}]}$ são usados para comparar diferentes distribuições.^[35]

O coeficiente de correlação é outra aplicação do desvio padrão em probabilidade. Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são duas variáveis aleatórias, o coeficiente de correlação ${\displaystyle \rho ={\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$, em que ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=E[(X-E[X])\,(Y-E[Y])]={E}[XY]-E[X]E[Y]}$, é a covariância das variáveis aleatórias ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$. De acordo com a desigualdade de Cauchy–Schwarz ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)|\leq \sigma _{X}\sigma _{Y}}$, é possível afirmar que ${\displaystyle \rho }$ assume valores no intervalo ${\displaystyle [-1,+1]}$.^[36] Se ${\displaystyle \rho =0}$, as duas variáveis aleatórias não são correlacionadas. Se ${\displaystyle \rho =\pm 1}$, as duas variáveis aleatórias são linearmente dependentes.^[37]

É por meio da desigualdade de Bienaymé–Chebyschev que o desvio padrão aparece como uma medida de dispersão em torno da média. A desigualdade de Bienaymé–Chebyschev afirma que ${\displaystyle P(|X-E(X)|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}}$ e mostra que a probabilidade de ${\displaystyle X}$ desviar–se de ${\displaystyle E(X)}$ ao longo de ${\displaystyle k}$ desvios padrões é menor ou igual a ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}}}}$.^[38]

A desigualdade de Chebyschev afirma que, para todas as distribuições para as quais o desvio padrão é definido, o volume de dados dentro de uma quantidade de desvios padrões da média são pelo menos os mesmos que os da tabela a seguir.^[39]

Distância da média	População mínima
${\displaystyle {\sqrt {2}}\sigma }$	50%
${\displaystyle 2\sigma }$	75%
${\displaystyle 3\sigma }$	89%
${\displaystyle 4\sigma }$	94%
${\displaystyle 5\sigma }$	96%
${\displaystyle 6\sigma }$	97%
${\displaystyle k\sigma }$	${\displaystyle 1-{\frac {1}{k^{2}}}}$[40]

Para uma população finita e relativamente pequena, o cálculo do desvio padrão é puramente algébrico sem referência à probabilidade. A estatística utiliza o desvio padrão empírico definido por ${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$.^[41]

Em estatística, a população é geralmente muito importante em número (não é possível conhecer todos os valores da população). Entre os recursos utilizados em amostragem e estimativa para avaliar os valores está o desvio padrão.^[42]

Um grande desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados longe da média e um pequeno desvio padrão indica que os pontos dos dados estão agrupados perto da média. Por exemplo, cada uma das três populações {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} e {6, 6, 8, 8} possui média 7. Os desvios padrões são 7, 5 e 1, respectivamente. A terceira população tem um desvio padrão menor porque seus valores são próximos de 7.^[43]

O desvio padrão tem a mesma unidade dos dados. Um exemplo, o conjunto de dados {0, 6, 8, 14} representa as idades de uma população de quatro irmãos em anos. A média é de 7 anos e o desvio padrão é de 5 anos. Outro exemplo, o conjunto de dados {1000, 1006, 1008, 1014} representa as distâncias percorridas por quatro atletas em metros. A média é de 1007 metros e o desvio padrão é de 5 metros.^[44]

O desvio padrão pode servir como medida de incerteza. Em ciências, a precisão de medições repetidas é dada pelo desvio padrão. O desvio padrão é crucial para analisar se as medições batem com a previsão teórica. Se a média das medições estiver muito longe da previsão teórica (distância medida pelo desvio padrão), então a teoria testada provavelmente precisa ser revisada.^[45]

Enquanto o desvio padrão mede a distância dos valores típicos da média, outras medidas estão disponíveis.^[17] É o exemplo do desvio médio absoluto, que pode ser considerado uma medida mais direta da distância da média em comparação à distância da raiz quadrada média inerente ao desvio padrão.^[46]

Seja uma população com três valores, ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$. Seja um ponto ${\displaystyle P=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Consideramos a linha ${\displaystyle L=\{(r,r,r):r\in \mathbb {R} \}}$ que é a diagonal principal, partindo da origem. Se os três valores fossem iguais, então o desvio padrão seria 0 e o ponto ${\displaystyle P}$ estaria em ${\displaystyle L}$. Então, pode–se assumir que o desvio padrão está relacionado à distância entre ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle L}$. Para mover–se ortogonalmente de ${\displaystyle L}$ para ${\displaystyle P}$, é preciso partir do ponto ${\displaystyle M=({\overline {x}},{\overline {x}},{\overline {x}})}$, cujas coordenadas são as médias dos valores mencionados acima.^[47]

A distância entre ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle M}$ (igual à distância entre ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle {\sqrt {\sum \limits _{i}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$ é igual ao desvio padrão do vetor ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ multiplicado pela raiz quadrada do número de dimensões do vetor (3 dimensões, no caso).^[47]

De acordo com o teorema central do limite, a distribuição da média de muitas variáveis aleatórias distribuídas independentemente e identicamente tende à distribuição normal

com função densidade ${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$, em que ${\displaystyle \mu }$ é o valor esperado das variáveis aleatórias, ${\displaystyle \sigma }$ é igual aos desvios padrões das distribuições dividido por ${\displaystyle n^{\frac {1}{2}}}$e ${\displaystyle n}$ é o número de variáveis aleatórias. Portanto, o desvio padrão é simplesmente uma variável escalonada que ajusta a amplitude da curva, embora ele apareça também na constante de normalização. Se a distribuição dos dados é aproximadamente normal, então a proporção dos valores dos dados dentro do desvio padrão ${\displaystyle z}$ da média é definida pela função erro ${\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)}$. Uma proporção que seja menor ou igual a um número ${\displaystyle x}$ é dada pela função cumulativa

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$.^[48]

Se a distribuição dos dados é aproximadamente normal, então cerca de 68% dos valores dos dados estão dentro de um desvio padrão da média (${\displaystyle \mu \pm \sigma }$, em que ${\displaystyle \mu }$ é a média aritmética), cerca de 95% estão dentro de dois desvios padrões (${\displaystyle \mu \pm 2\sigma }$) e cerca de 99,7% estão dentro de três desvios padrões (${\displaystyle \mu \pm 3\sigma }$). Isto é conhecido como a regra empírica 68–95–99,7.^[49]

Para vários valores de ${\displaystyle z}$, as porcentagens dos valores esperados dentro ou fora do intervalo simétrico ${\displaystyle IC=(-z\sigma ,z\sigma )}$ são:

Intervalo de confiança	Proporção dentro	Proporção fora
	Porcentagem	Porcentagem	Fração
${\displaystyle 0,674490\sigma }$	7001500000000000000♠50%	7001500000000000000♠50%	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle 0,994458\sigma }$	68%	32%	${\displaystyle {\frac {1}{3,125}}}$
${\displaystyle 1\sigma }$	68,2689492%	31,7310508%	${\displaystyle {\frac {1}{3,1514872}}}$
${\displaystyle 1,281552\sigma }$	80%	20%	${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$
${\displaystyle 1,644854\sigma }$	90%	10%	${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$
${\displaystyle 1,959964\sigma }$	95%	5%	${\displaystyle {\frac {1}{20}}}$
${\displaystyle 2\sigma }$	95,4499736%	4,5500264%	${\displaystyle {\frac {1}{21,977895}}}$
${\displaystyle 2,575829\sigma }$	99%	1%	${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$
${\displaystyle 3\sigma }$	99,7300204%	0,2699796%	${\displaystyle {\frac {1}{370,398}}}$
${\displaystyle 3,290527\sigma }$	99,9%	0,1%	${\displaystyle {\frac {1}{1000}}}$
${\displaystyle 3,890592\sigma }$	99,99%	0,01%	${\displaystyle {\frac {1}{10000}}}$
${\displaystyle 4\sigma }$	99,993666%	0,006334%	${\displaystyle {\frac {1}{15787}}}$
${\displaystyle 4,417173\sigma }$	99,999%	0,001%	${\displaystyle {\frac {1}{100000}}}$
${\displaystyle 4,5\sigma }$	99,9993204653751%	0,0006795346249%	${\displaystyle {\frac {3,4}{1000000}}{\text{(em cada lado da média)}}}$
${\displaystyle 4,891638\sigma }$	7001999999000000000♠99.9999%	0,0001%	${\displaystyle {\frac {1}{1000000}}}$
${\displaystyle 5\sigma }$	99,9999426697%	0,0000573303%	${\displaystyle {\frac {1}{1744278}}}$
${\displaystyle 5,326724\sigma }$	99,99999%	0,00001%	${\displaystyle {\frac {1}{10000000}}}$
${\displaystyle 5,730729\sigma }$	99,999999%	0,000001%	${\displaystyle {\frac {1}{100000000}}}$
${\displaystyle 6\sigma }$	99,9999998027%	0,0000001973%	${\displaystyle {\frac {1}{506797346}}}$
${\displaystyle 6,109410\sigma }$	99,9999999%	0,0000001%	${\displaystyle {\frac {1}{1000000000}}}$
${\displaystyle 6,466951\sigma }$	99,99999999%	0,00000001%	${\displaystyle {\frac {1}{10000000000}}}$
${\displaystyle 6,806502\sigma }$	99,999999999%	0,000000001%	${\displaystyle {\frac {1}{100000000000}}}$
${\displaystyle 7\sigma }$	99,9999999997440%	0,000000000256%	${\displaystyle {\frac {1}{390682215445}}}$

Em resumo, de acordo com a regra 68–95–99,7, para uma distribuição normal unimodal, gaussiana, simétrica, de afunilamento médio (mesocúrtica):^[49]

• 68% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a um desvio padrão;^[50]
• 95% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a duas vezes o desvio padrão;^[50]
• 99,7% dos valores encontram–se a uma distância da média inferior a três vezes o desvio padrão.^[50]

Para um conjunto de dados finito, o desvio padrão é calculado a partir da raiz quadrada da média dos desvios entre os valores e a média dos valores dos dados elevado ao quadrado.^[51]

Sejam as notas de 8 estudantes (${\displaystyle n=8}$) 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. A média das notas dos 8 estudantes é: ${\displaystyle {\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}=5}$.

Os desvios entre as notas e a média das notas elevados ao quadrado são:${\displaystyle {\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16.\\\end{array}}}$

A variância ou a média de todos os valores é: ${\displaystyle {\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}=4}$ . O desvio padrão ou a raiz quadrada da variância é ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$. Isto é, o desvio padrão é igual a 2.^[51]

O cálculo da raiz quadrada da média dos desvios entre os valores e a média dos valores dos dados elevados ao quadrado é válido apenas se os valores formarem a população total. Se os valores forem parte de uma amostra aleatória extraída de uma população maior (por exemplo, 8 notas extraídas de uma sala de aula de 2 milhões de estudantes), então o denominador da fórmula da variância seria ${\displaystyle n-1}$ (7) em vez de ${\displaystyle n}$ (8) e o resultado seria chamado desvio padrão amostral.^[52]

A divisão da soma dos desvios entre as notas e a média das notas por ${\displaystyle n-1}$ em vez de ${\displaystyle n}$ fornece uma estimativa não enviesada do desvio padrão populacional maior, o que é conhecido como correção de Bessel.^[53]

Seja a altura média de um homem adulto nos Estados Unidos 1,78 metro ou 178 centímetros, com desvio padrão de 7 centímetros. Então, a maioria dos homens adultos dos Estados Unidos (cerca de 68%) tem entre 7 centímetros acima e 7 centímetros abaixo de 178 centímetros (entre 171 centímetros e 185 centímetros, correspondente a um desvio padrão) e praticamente todos os homens adultos dos Estados Unidos (cerca de 95%) tem entre 14 centímetros acima e 14 centímetros abaixo de 178 centímetros (entre 164 centímetros e 192 centímetros, correspondente a dois desvios padrões). Se o desvio padrão fosse 0 centímetro, então todos os homens adultos dos Estados Unidos teriam 178 centímetros. Se o desvio padrão fosse 50 centímetros, então os homens adultos dos Estados Unidos teriam uma variação muito maior de altura (entre 121 centímetros e 221 centímetros). Três desvios padrões representam 99,7% da amostra da população estudada, assumindo que é uma distribuição normal (em forma de sino).^[52][53]

Um estimador é uma função que aproxima–se de um parâmetro de uma população por meio de uma amostra aleatória.^[54] Dois estimadores do desvio padrão são geralmente utilizados. Os estimadores ${\displaystyle S_{n}}$ ou ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle {S_{n-1}}}$ ou ${\displaystyle S'}$ são expressos em função dos valores da amostra por

${\displaystyle S_{n}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}}$ e ${\displaystyle S_{n-1}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}={\sqrt {\frac {n}{n-1}}}\cdot S_{n}}$.

${\displaystyle {S_{n-1}}}$ é o estimador não enviesado.^[55][56]

Na verdade, uma boa estimativa do desvio padrão real seria ${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}}}$, em que ${\displaystyle \mu }$ é a média da distribuição de ${\displaystyle x_{i}}$. Muitas vezes a média ${\displaystyle \mu }$ não é conhecida e precisa ser calculada a partir da amostra pela fórmula ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$. Então, a estimativa do desvio padrão é calculado pela fórmula

${\displaystyle s_{n-1}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$.^[57]

O denominador é ${\displaystyle n-1}$ em vez de ${\displaystyle n}$ (correção de Bessel) porque o cálculo da média de ${\displaystyle x}$ a partir da amostra perdeu um grau de liberdade, uma vez que a fórmula ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ liga ${\displaystyle {\bar {x}}}$ aos valores ${\displaystyle x_{i}}$. Portanto, há apenas ${\displaystyle n-1}$ valores independentes após o cálculo de ${\displaystyle {\bar {x}}}$.^[57]

Duas propriedades importantes dos estimadores são a convergência e a falta de viés.^[56] Se ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ é um estimador do parâmetro ${\displaystyle \theta }$, o viés será a quantidade ${\displaystyle E[{\hat {\theta }}]-\theta }$. Se o valor for diferente de zero, significa que ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ está posicionado em torno de ${\displaystyle E[{\hat {\theta }}]}$ em vez de ${\displaystyle \theta }$. O estimador ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ é contaminado pelo erro. Um bom estimador não tem viés.^[58] O estimador ${\displaystyle S_{n-1}}$ do desvio padrão é enviesado, mas o viés é aceitável.^[59][60]

Se ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }(a_{n})=a}$, então ${\displaystyle (a_{n})}$ converge (em distribuição, em média, em probabilidade, quase certamente) para ${\displaystyle a}$ à medida que ${\displaystyle n}$ aproxima-se do infinito. Entretanto, se ${\displaystyle S_{n}^{2}}$ e ${\displaystyle S_{n-1}^{2}}$ são estimadores convergentes de ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, reflete–se a aproximação de ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ para as duas séries quando ${\displaystyle n}$ torna–se cada vez maior.^[58] Com o teorema da continuidade afirmando que se ${\displaystyle f}$ é contínua ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f(X_{n})=f(\lim \limits _{n\to \infty }X_{n})}$ (limite em probabilidade), a função raiz quadrada é contínua, os estimadores ${\displaystyle {S_{n}}}$ e ${\displaystyle {S_{n-1}}}$ são convergentes também. O teorema da continuidade afirma que se ${\displaystyle f}$ é uma função contínua, então ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}X\Longrightarrow f(X_{n}){\xrightarrow {\mathbb {P} }}f(X)}$, em que ${\displaystyle {\xrightarrow {\mathbb {P} }}}$ denota convergência em probabilidade. Como a função raiz quadrada é uma função contínua, ${\displaystyle {S_{n}}}$ e ${\displaystyle {S_{n-1}}}$ são estimadores convergentes do desvio padrão. Isto é, ${\displaystyle S_{n-1}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}\sigma }$ e ${\displaystyle S_{n}{\xrightarrow {\mathbb {P} }}\sigma }$.^[61]

A média e o desvio padrão de um conjunto de dados são estatísticas descritivas geralmente reportadas em conjunto. De uma certa maneira, o desvio padrão é uma medida natural de dispersão estatística se o centro dos dados for medido em relação à média. Isto porque o desvio padrão a partir da média é menor que o desvio padrão a partir de qualquer outro ponto. Sendo ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ números reais, define–se a função ${\displaystyle \sigma (r)={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-r)^{2}}}.}$ Usando cálculo ou completamento de quadrado, é possível mostrar que ${\displaystyle \sigma (r)}$ tem um mínimo único na média ${\displaystyle r={\overline {x}}.\,}$^[62]

A variabilidade também pode ser medida pelo coeficiente de variação, que é a razão entre o desvio padrão e a média. É um número adimensional.^[63]

Geralmente quer-se mais informações sobre a precisão da média obtida. Podemos obtê-la determinando o desvio padrão da média amostral. Assumindo a independência estatística dos valores na amostra, o desvio padrão da média está relacionado ao desvio padrão da distribuição por ${\displaystyle \sigma _{\text{média}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$, em que ${\displaystyle n}$ é o número de observações na amostra usado para estimar a média.^[64]

Isto pode ser provado com ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} ({\text{média}})&=\operatorname {var} \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {var} (X_{i})={\frac {n}{n^{2}}}\operatorname {var} (X)={\frac {1}{n}}\operatorname {var} (X).\end{aligned}}}$ Isto resulta em ${\displaystyle \sigma _{\text{média}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$^[65]

É importante ressaltar que para estimar o desvio padrão da média ${\displaystyle \sigma _{\text{média}}}$ é necessário saber o desvio padrão de toda a população ${\displaystyle \sigma }$ de antemão. Entretanto, este parâmetro é desconhecido na maioria das aplicações. Por exemplo, se uma série de 10 medições de uma quantidade previamente desconhecida é realizada em um laboratório, é possível calcular a média da amostra resultante e o desvio padrão amostral, mas é impossível calcular o desvio padrão da média.^[66]

Para estimar a exatidão da estimativa da média de uma variável, o método do cálculo do desvio padrão da distribuição da amostragem das médias é utilizado. Também chamado erro padrão da média e denotado como ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$, é o desvio padrão das médias das amostras de tamanho idêntico de uma população. Se ${\displaystyle n}$ é o tamanho das amostras tomadas a partir do desvio padrão de uma população ${\displaystyle \sigma }$ e se ${\displaystyle N}$ é o tamanho da população, então ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}$.^[67]

Quando o desvio padrão ${\displaystyle \sigma }$ da população é desconhecido, ele pode ser substituído pelo estimador ${\displaystyle S_{n-1}}$.^[67] Quando ${\displaystyle n}$ é suficientemente grande (${\displaystyle n\geq 30}$), a distribuição da amostra provavelmente segue a lei de Laplace–Gauss, que permite deduzir um intervalo de confiança em função de ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$ para localizar a média da população a partir da média da amostra.^[68][69]

Há casos em que é possível encontrar o desvio padrão ${\displaystyle \sigma }$ de uma população inteira com o Teste Z, em que cada membro da população é amostrado. Em casos em que não é possível encontrar o desvio padrão ${\displaystyle \sigma }$, ele é estimado analisando uma amostra padrão extraída da população e calculando uma estatística da amostra, que é usada como uma estimativa do desvio padrão populacional.

Entretanto, ao contrário da estimativa da média da população, para a qual a média amostral é um estimador simples com muitas propriedades desejáveis (não enviesado, eficiente, máxima verossimilhança), não há um único estimador para o desvio padrão com todas estas propriedades, além de que um estimador não enviesado do desvio padrão é um problema técnico. Frequentemente o desvio padrão é estimado usando o desvio padrão corrigido da amostra ${\displaystyle (n-1)}$ e geralmente é referido como o desvio padrão amostral, sem qualificadores. Porém, outros estimadores são melhores em outros aspectos − o estimador com a correção (${\displaystyle n}$) produz um erro quadrático médio mais baixo, enquanto o uso de correção ${\displaystyle (n-1,\!5)}$ para distribuição normal elimina quase completamente o viés.^[70]

Primeiramente, a fórmula para o desvio padrão populacional de uma população finita pode ser aplicada à amostra usando o tamanho da amostra como o tamanho da população (embora o tamanho verdadeiro da população da qual a amostra é extraída possa ser muito maior). O estimador denotado como ${\displaystyle s_{n}}$ é conhecido como desvio padrão não corrigido da amostra ou às vezes como desvio padrão amostral (considerado com a população inteira) e é definido como ${\displaystyle s_{n}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}},}$ em que ${\displaystyle \{x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\}}$ são os valores observados dos itens da amostra, ${\displaystyle {\overline {x}}}$ é o valor da amostra das observações, ${\displaystyle n}$ é o tamanho da amostra (raiz quadrada da variância da amostra, que é a média dos desvios quadráticos da média da amostra).^[71]

${\displaystyle S_{n}}$ é um estimador consistente (converge em probabilidade para os valores da população à medida que o número de amostras tende ao infinito) e é a estimativa por máxima verossimilhança quando a população é normalmente distribuída. Entretanto, ${\displaystyle S_{n}}$ é um estimador enviesado na medida em que as estimativas são geradas muito lentamente. O viés diminui conforme o tamanho da amostra aumenta, caindo para ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ e, portanto, é mais significativo para tamanhos pequenos ou moderados de amostras. Para ${\displaystyle n>75}$, o viés é menor que 1%. Então, para tamanhos muito grandes de amostras, o desvio padrão não corrigido da amostra é geralmente aceitável. O estimador também tem erro quadrático médio uniformemente menor que o desvio padrão corrigido da amostra.^[71]

Se a variância enviesada da amostra (o segundo momento central da amostra, que é uma estimativa tendenciosa da variância populacional) é usada para calcular uma estimativa do desvio padrão populacional, retirando a raiz quadrada, introduzem-se mais vieses tendenciosos pela desigualdade de Jensen devido à raiz quadrada ser uma função côncava. O viés na variância é facilmente corrigido, mas o viés da raiz quadrada é mais difícil de ser corrigido e depende da distribuição em questão.

Um estimador não enviesado da variância é dado pela aplicação da correção de Bessel, usando ${\displaystyle n-1}$ em vez de ${\displaystyle n}$ para gerar a estimativa da variância não enviesada da amostra denotada como ${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.}$^[72] Retirando a raiz quadrada, reintroduz-se o viés porque a raiz quadrada é uma função não linear, que não é comutativa com a expectativa. Isto gera o desvio padrão corrigido da amostra denotado como ${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}.}$^[72]

Enquanto ${\displaystyle s^{2}}$ é uma estimativa não enviesada da variância populacional, ${\displaystyle s}$ é uma estimativa enviesada do desvio padrão populacional. Embora notadamente menos enviesado que o desvio padrão não corrigido da amostra. O viés continua sendo significativo para pequenas amostras (${\displaystyle n<10}$) e também cai para ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ à medida que o tamanho da amostra aumenta. Este estimador é comumente usado e geralmente conhecido simplesmente como desvio padrão amostral.^[72]

Para estimativas não enviesadas do desvio padrão, não há fórmula que aplique-se a todas as distribuições, ao contrário da média e da variância. ${\displaystyle s}$ é usado como uma base e é escalado por um fator de correção para produzir uma estimativa não enviesada. Para a distribuição normal, um estimador não enviesado é dado por ${\displaystyle {\frac {s}{c_{4}}}}$, em que o fator de correção que depende de ${\displaystyle n}$ é dado em termos da função gama:

${\displaystyle c_{4}(n)\,=\,{\sqrt {\frac {2}{n-1}}}\,\,\,{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}.}$^[70]

Isto ocorre porque a distribuição amostral do desvio padrão amostral segue uma distribuição qui e o fator de correção é a média da distribuição qui. Uma aproximação pode ser dada pela substituição de ${\displaystyle n-1}$ por ${\displaystyle n-1,\!5}$, tal que ${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n-1,\!5}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}.}$^[70]

O erro na aproximação cai quadraticamente para ${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}}$, e é adequado para todas as amostras, com exceção daquelas menores ou de menor precisão. Para ${\displaystyle n=3}$, o viés é igual a 1,3% e para ${\displaystyle n=9}$ o viés é menor que 0,1%. Para outras distribuições, a fórmula correta depende da distribuição, mas uma regra de ouro é usar o refinamento da aproximação:

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n-1,\!5-{\tfrac {1}{4}}\gamma _{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}},}$

em que ${\displaystyle \gamma _{2}}$ denota o excesso de curtose da população, que pode ser tanto conhecido antecipadamente para certas distribuições quanto estimado a partir dos dados.^[70]

O desvio padrão obtido a partir da distribuição amostral não é absolutamente preciso, tanto por razões matemáticas (aqui explicadas pelo intervalo de confiança) quanto por razões práticas de medição (erro de medição). O efeito matemático pode ser descrito pelo intervalo de confiança.^[73] Para mostrar como uma amostra maior tornará o intervalo de confiança menor, consideram-se os seguintes exemplos.

Uma pequena população de tamanho ${\displaystyle n}$ = 3 tem apenas um grau de liberdade para estimar o desvio padrão. O resultado é que um intervalo de confiança de 95% tem desvio padrão entre 0,45 e 31,90. Os fatores são ${\displaystyle {\Pr }{\Bigg \{}q_{\frac {\alpha }{2}}<{\frac {ks^{2}}{\sigma ^{2}}}<q_{\frac {1-\alpha }{2}}{\Bigg \}}=1-\alpha ,}$ em que ${\displaystyle q_{p}}$é o ${\displaystyle p}$−ésimo quantil da distribuição qui−quadrado com ${\displaystyle k}$ graus de liberdade e ${\displaystyle 1-\alpha }$ é o nível de confiança. Isto é equivalente a ${\displaystyle {\Pr }{\Bigg \{}{\frac {ks^{2}}{q_{\frac {1-\alpha }{2}}}}<\sigma ^{2}<{\frac {ks^{2}}{q_{\frac {\alpha }{2}}}}{\Bigg \}}=1-\alpha .}$^[74]

Com ${\displaystyle k=1}$, ${\displaystyle q_{0.025}=0,000982}$ e ${\displaystyle q_{0.975}=5,024}$ . As recíprocas da raiz quadrada destes dois números fornecem os fatores 0,45 e 31,90 mencionados acima.

Uma população maior de tamanho ${\displaystyle n=10}$ tem 9 graus de liberdade para estimar o desvio padrão. Os mesmos cálculos acima fornecem um intervalo de confiança de 95% com desvio padrão entre 0,88 e 1,16. Para ter mais certeza de que o desvio padrão amostral será próximo do desvio padrão real, é preciso amostrar um grande número de pontos. As mesmas fórmulas podem ser usadas para obter os intervalos de confiança da variância de resíduos a partir do método dos mínimos quadrados, que se encaixa na teoria normal padrão, em que ${\displaystyle k}$ é o número de graus de liberdade do erro.^[74]

Em geral, é muito difícil calcular a distribuição de probabilidade de desvio padrão empírico. Porém se ${\displaystyle X_{n}}$é uma sequência de variáveis aleatórias distribuídas de acordo com a distribuição normal ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$, então ${\displaystyle n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}}$ segue uma distribuição de ${\displaystyle \chi ^{2}}$ a ${\displaystyle n}$ graus de liberdade.^[75] Esta lei é o desvio padrão ${\displaystyle {\sqrt {2n}}}$. Portanto, o desvio padrão da distribuição das variações das variáveis normais é expresso por ${\displaystyle \sigma _{S_{n}^{2}}=\sigma ^{2}{\sqrt {\frac {2}{n}}}}$.^[75]

O conceito de desvio padrão elevado não tem sentido isoladamente. Ele não indica uma dispersão forte que se torna o valor adimensional quando dividido pela média.^[4] Um desvio padrão elevado possivelmente pode indicar a existência de um outlier. Um critério consiste em rejeitar os valores que diferem da média em mais de três vezes o desvio padrão, o qual está sob a distribuição normal de uma probabilidade de exceder de ${\displaystyle {\frac {3}{1000}}}$.^[76]

Em pesquisas de opinião, o desvio padrão ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$avalia a incerteza das variações acidentais de ${\displaystyle {\bar {x}}}$ inerentes à pesquisa, chamada de margem de erro devido às variações acidentais.^[77]

Com o método da amostragem representativa, quando os diferentes estratos têm desvios padrões muito diferentes, o desvio padrão é utilizado para calcular a repartição ótima de Neyman, que permite medir a população nos diferentes estratos em função do desvio padrão. Em outros termos, ${\displaystyle n_{i}=n{\frac {N_{i}\sigma _{i}}{\sum N_{j}\sigma _{j}}}}$ é o tamanho da amostragem do estrato, ${\displaystyle n}$ é o tamanho total do estrato, ${\displaystyle N_{i}}$ é o tamanho do estrato ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle \sigma _{i}}$ é o desvio padrão do estrato ${\displaystyle i}$.^[77]

O cálculo do desvio padrão para um programa de computador pode resultar em dados inconsistentes quando não se utiliza um algoritmo adequado, como quando se utiliza o algoritmo que opera diretamente a fórmula de grandes amostras de valores entre 0 e 1.^[78][79]

Um dos melhores algoritmos é chamado B.P. Welford, descrito por Donald Knuth em seu livro The Art of Computer Programming Vol. 2.^[80][81] Uma aproximação do desvio padrão da direção do vento é dada pelo algoritmo de Yamartino, que é usado em anemômetros modernos.^[82][83]

As duas fórmulas seguintes podem representar um desvio padrão repetidamente atualizado. Um conjunto de duas somas de potências ${\displaystyle s_{1}}$ e ${\displaystyle s_{2}}$ são calculadas sobre um conjunto de ${\displaystyle n}$ valores de ${\displaystyle x}$ denotados como ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, ${\displaystyle \ s_{j}=\sum _{k=1}^{n}{x_{k}^{j}}.}$ Dados os resultados das duas somas, os valores ${\displaystyle s_{1}}$, ${\displaystyle s_{2}}$ e ${\displaystyle n}$ podem ser usados a qualquer hora para calcular o valor atual do desvio padrão ${\displaystyle \sigma ={\frac {\sqrt {ns_{2}-s_{1}^{2}}}{n}}}$, em que ${\displaystyle n}$ é o tamanho do conjunto de valores (também pode ser denotado como ${\displaystyle s_{0}}$), como mencionado acima. Similarmente para o desvio padrão ${\displaystyle s={\sqrt {\frac {ns_{2}-s_{1}^{2}}{n(n-1)}}}.}$

Em uma implementação de computador, à medida que as três somas ${\displaystyle s_{j}}$ aumentam, é preciso considerar o erro de arredondamento, o overflow aritmético e o underflow aritmético. O método abaixo calcula o método das somas correntes com erros de arredondamento reduzidos. Isto é um algoritmo para calcular a variância de ${\displaystyle n}$ amostras sem a necessidade de armazenar dados anteriores durante o cálculo.^[80] Aplicando este método a uma série de tempo, resultará em valores sucessivos de desvio padrão correspondente a ${\displaystyle n}$ pontos dados à medida que ${\displaystyle n}$ aumenta com cada nova amostra.

Para ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {x_{k}-A_{k-1}}{k}}\end{aligned}}}$, em que ${\displaystyle A}$ é o valor médio.

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {k-1}{k}}(x_{k}-A_{k-1})^{2}=Q_{k-1}+(x_{k}-A_{k-1})(x_{k}-A_{k})\\\end{aligned}}}$, em que ${\displaystyle Q_{1}=0}$ desde que ${\displaystyle k-1=0}$ ou ${\displaystyle x_{1}=A_{1}}$.

A variância da amostra é ${\displaystyle s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n-1}}}$. A variância da população é ${\displaystyle \sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{n}}}$.

Quando os valores ${\displaystyle x_{i}}$ são ponderados com pesos desiguais ${\displaystyle w_{i}}$, as somas de potências ${\displaystyle s_{0}}$, ${\displaystyle s_{1}}$ e ${\displaystyle s_{2}}$ são calculadas como