Extensão algébrica – Wikipédia, a enciclopédia livre
Em matemática, uma extensão algébrica é uma extensão de campo L/K tal que todo elemento do corpo maior L é algébrico sobre o corpo menor K; isto é, todo elemento de L é raiz de um polinômio diferente de zero com coeficientes em K.[1][2] Uma extensão de campo que não é algébrica é dita transcendental e deve conter elementos transcendentais, ou seja, elementos que não são algébricos.[3][4]
As extensões algébricas do campo dos números racionais são chamados de campos de números algébricos e são os principais objetos de estudo da teoria algébrica dos números. Outro exemplo de extensão algébrica comum é a extensão dos números reais pelos números complexos.
Algumas propriedades
[editar | editar código-fonte]Todas as extensões transcendentais são de grau infinito. Isto, por sua vez, implica que todas as extensões finitas são algébricas.[5] A recíproca, entretanto, não é verdadeira: existem infinitas extensões que são algébricas.[6] Por exemplo, o corpo de todos os números algébricos é uma extensão algébrica infinita dos números racionais.[7]
Seja E um campo de extensão de K e a ∈ E. O menor subcampo de E que contém K e a é comumente denotado Se a é algébrico sobre K, então os elementos de K(a) podem ser expressos como polinômios em a com coeficientes em K; isto é, K(a) também é o menor anel contendo K e a. Nesse caso, é uma extensão finita de K (é um espaço vetorial K de dimensão finita) e todos os seus elementos são algébricos sobre K.[8] Essas propriedades não são válidas se a não for algébrico. Por exemplo, , e ambos são espaços vetoriais de dimensão infinita sobre [9]
Um campo algébrico fechado F não possui extensões algébricas próprias, ou seja, não possui extensões algébricas E com F < E.[10] Um exemplo é o campo dos números complexos. Todo corpo tem uma extensão algébrica que é algebricamente fechada (chamada de fechamento algébrico), mas provar isso em geral requer alguma forma do axioma da escolha.[11]
Uma extensão L/K é algébrica se e somente se toda sub K-álgebra de L é um corpo.
Referências
- ↑ Fraleigh (2014), Definition 31.1, p. 283.
- ↑ Malik, Mordeson, Sen (1997), Definition 21.1.23, p. 453.
- ↑ Fraleigh (2014), Definition 29.6, p. 267.
- ↑ Malik, Mordeson, Sen (1997), Theorem 21.1.8, p. 447.
- ↑ See also Hazewinkel et al. (2004), p. 3.
- ↑ Fraleigh (2014), Theorem 31.18, p. 288.
- ↑ Fraleigh (2014), Corollary 31.13, p. 287.
- ↑ Fraleigh (2014), Theorem 30.23, p. 280.
- ↑ Fraleigh (2014), Example 29.8, p. 268.
- ↑ Fraleigh (2014), Corollary 31.16, p. 287.
- ↑ Fraleigh (2014), Theorem 31.22, p. 290.
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Fraleigh, John B. (2014), A First Course in Abstract Algebra, ISBN 978-1-292-02496-7, Pearson
- Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, ISBN 1-4020-2690-0, 1, Springer
- Malik, D. B.; Mordeson, John N.; Sen, M. K. (1997), Fundamentals of Abstract Algebra, ISBN 0-07-040035-0, McGraw-Hill
- McCarthy, Paul J. (1991) [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, ISBN 0-486-66651-4, New York: Dover Publications, Zbl 0768.12001
- Roman, Steven (1995), Field Theory, ISBN 9780387944081, GTM 158, Springer-Verlag
- Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, ISBN 9780130878687, Prentice Hall