Fidelidade dos estados quânticos – Wikipédia, a enciclopédia livre
Fidelidade dos estados quânticos, ou função de fidelidade, ou ainda função quântica de fidelidade, em Teoria de informação quântica, é u’a medida do "fechamento" (em inglês, closeness) de/entre dois estados quânticos. Não é medida no espaço de matrizes densidade. Costuma, quando não há possibilidade de confusão, ou se o assunto é tratado especifica e restritamente no domínio físico-químico quântico, ser reportada apenas por fidelidade, a bem da simplicidade.
Introdução
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Em teoria de probabilidade, dadas duas variáveis aleatórias p = (p1...pn) e q = (q1...qn) no espaço de probabilidades X = {1,2...n}. A fidelidade de p e q é definida pela quantidade
Noutras palavras, a fidelidade F(p,q) é o produto escalar ou interno de e vistos como vetores no Espaço euclidiano. Observe que, quando p = q, F(p,q) = 1. Em geral,
Fazendo-se as modificações apropriadas para a noção matricial de raiz quadrada, pode-se dizer que a definição acima fornece a função fidelidade de dois estados quânticos.
Definição
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Dadas duas matrizes densidade ρ e σ, a função fidelidade é definida por:
Por M½ de u’a matriz positiva semidefinida M, quer-se significar a unicidade da raiz quadrada dada pelo teorema espectral. O produto escalar ou interno euclidiano a partir da definição clássica é substituído pelo produto escalar de Hilbert-Schmidt. Quando se trata de estados clássicos, isto é, quando ρ e σ são comutativos, a definição dada coincide com aquela válida para função de densidade de probabilidade.
Observe-se, pela definição, que F é não-negativo, e F(ρ,ρ) = 1. Na seção seguinte será mostrado que ele não pode ser maior que 1.
Exemplos simples
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Estados puros
[editar | editar código-fonte]Considerem-se estados puros dados por:
and Sua fidelidade será:
Isso é, algumas vezes, chamado superposição entre dois estados. Se — diga-se — é um eigen-estado de um observável, e o sistema é preparado em então F(ρ, σ)2 é a probabilidade do sistema estar no estado após a medida.
Estados comutativos
[editar | editar código-fonte]Sejam ρ e σ duas matrizes densidade comutativas. Assim, elas podem ser simultaneamente diagonalizadas por matrizes unitárias, de modo que se pode escrever:
- e
para alguma base ortonormal
O cálculo direto mostra que a fidelidade é:
Isso mostra que, heuristicamente, fidelidade de estados quânticos é uma extensão genuína da noção advinda da teoria de probabilidades.
Algumas propriedades
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Invariância unitária
[editar | editar código-fonte]O cálculo direto mostra que a fidelidade é preservada por evolução unitária, isto é:
para qualquer operador unitário U.
Viu-se que, para dois estados puros, sua fidelidade coincide com a superposição. O teorema de Uhlmann estende ou generalize essa afirmação para estados mistos, em termos de suas purificações:
Teorema Sejam ρ e σ duas matrizes densidade agindo sobre Cn. Seja ρ½ a raiz quadrada positiva única de ρ e
uma purificação quântica de ρ (logo é uma base ortonormal).
Então, a seguinte igualdade é válida:
onde é uma purificação de σ. Assim, em geral, a fidelidade é a máxima superposição entre as purificações.
Prova: Uma prova simples pode ser apresentada como segue. Seja |Ω > o vetor
e σ½ raiz quadrada positiva única de σ. Viu-se que, devido à liberdade unitária em fatorações de raiz quadrada e escolhidas bases ortonormais, uma purificação arbitrária de σ é da forma
onde Vi's operadores unitários. Agora se calcula diretamente
Mas, em geral, para qualquer matriz quadrada A e unitária U, é verdadeiro que |Tr(AU)| ≤ Tr (A*A)½. Ademais, igualdade é assegurada se U* é o operador unitário na decomposição polar de A. Resta, pois, demonstrado diretamente o teorema de Uhlmann.
Consequências
[editar | editar código-fonte]Algumas consequências imediatas do teorema de Uhlmann são:
- Fidelidade é simétrica em seus argumentos, isto é F (ρ,σ) = F (σ,ρ). Observe-se, contudo, que isso não é óbvio a partir da definição.
- F (ρ,σ) falha in [0,1], de acordo com a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
- F (ρ,σ) = 1 se e somente se ρ = σ, desde que Ψρ = Ψσ implica ρ = σ.
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- JOZSA, R. Fidelity for mixed quantum states. Journal of Modern Optics, 1994, vol. 41, 2315-2323.