Função mensurável – Wikipédia, a enciclopédia livre
Em matemática, sobretudo na teoria da medida, funções mensuráveis são aquelas que apresentam comportamento suficientemente simples para que se possa desenvolver uma teoria de integração.[1] [2]
Definição
[editar | editar código-fonte]Seja uma função, onde e são espaços mensuráveis. Uma função é dita -mensurável se
- ,
isto é, se a pré-imagem de todo conjunto -mensurável é -mensurável.
Função Borel mensurável
[editar | editar código-fonte]Um caso particular importante da definição acima acontece quando tomamos como sendo a álgebra de Borel, neste caso (se a definirmos como a menor sigma-álgebra contendo a topologia), a seguinte definição é equivalente:
Seja uma função, onde é um espaço mensurável e é um espaço topológico. Uma função é dita Borel--mensurável se:
Função Borel-Lebesgue mensurável
[editar | editar código-fonte]Uma função é dita Borel-Lebesgue mensurável quando , a σ-álgebra de Lebesgue e , a álgebra de Borel.
Muitas vezes, uma função Borel-Lebesgue mensurável é dita apenas Lebesgue-mensurável ou simplesmente mensurável.
Função reais Borel-Lebesgue mensurável
[editar | editar código-fonte]É costume representar uma função pelas suas componente no contra-domínio:
Pode-se mostrar que é Borel-Lebesgue-mensurável se e somente se cada uma das é Borel-Lebesgue-mensurável.
Propriedades
[editar | editar código-fonte]Sejam e funções Borel-Lebesgue-mensuráveis onde é um conjunto mensurável de e e reais então:
- é mensurável
- é mensurável
- é mensurável para todo
- Se e então é mensurável.
- Se são mensuráveis e convergem quase-sempre então o limite é uma função mensurável.