Grupoide (matemática) – Wikipédia, a enciclopédia livre

 Nota: Não confundir com grupoide (estrutura algébrica).

Em matemática, grupoide é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto não-vazio com uma operação binária parcial, geralmente denotada pela concatenação, onde todo elemento possui um inverso. Um grupoide é uma generalização da estrutura de grupo, e também representa uma categoria pequena em que todos os morfismos são invertíveis.

Um grupoide pode ser definido a partir da teoria das categorias ou de forma axiomática.

Na teoria das categorias, um grupoide é uma categoria pequena ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ em que todo morfismo é invertível, isto é, é um isomorfismo.^[1] Isto é:

• A classe dos objetos ${\displaystyle Obj_{\mathcal {C}}}$ e a classe dos morfismos ${\displaystyle Mor_{\mathcal {C}}(A,B)}$ são conjuntos, para quaisquer ${\displaystyle A,B\in Obj_{\mathcal {C}}}$.
• Para todo ${\displaystyle f\in Mor_{\mathcal {C}}(A,B)}$ existe ${\displaystyle g\in Mor_{\mathcal {C}}(B,A)}$ tal que ${\displaystyle f\circ g=Id_{B}}$ e ${\displaystyle g\circ f=Id_{A}}$, isto é, ${\displaystyle g=f^{-1}}$

Para a definição axiomática de grupoide^[2], seja ${\displaystyle G}$ um conjunto não-vazio munido de uma operação binária definida parcialmente . Dados ${\displaystyle g,h\in G}$, dizemos que existe ${\displaystyle gh}$ se o produto estiver definido, e escrevemos ${\displaystyle \exists gh}$. Um elemento ${\displaystyle e\in G}$ é dito identidade se ${\displaystyle \exists eg}$ e ${\displaystyle \exists ge}$ então ${\displaystyle eg=g=ge}$. Então ${\displaystyle G}$ é um grupoide se satisfaz os seguintes axiomas:

• Para todo ${\displaystyle g,h,l\in G}$, ${\displaystyle \exists g(hl)}$ se e somente se ${\displaystyle \exists (gh)l}$ e, neste caso, são iguais;
• Para todo ${\displaystyle g,h,l\in G}$, ${\displaystyle \exists g(hl)}$ se e somente se ${\displaystyle \exists gh}$ e ${\displaystyle \exists hl}$;
• Para cada ${\displaystyle g\in G}$ existem (únicos) elementos ${\displaystyle d(g),r(g)\in G}$ tais que ${\displaystyle gd(g)=g=r(g)g}$. Estes elementos são, respectivamente, identidade domínio e identidade imagem de ${\displaystyle g}$;
• Para cada ${\displaystyle g\in G}$ existe um (único) elemento ${\displaystyle g^{-1}\in G}$ tal que ${\displaystyle g^{-1}g=d(g)}$ e ${\displaystyle gg^{-1}=r(g)}$.

Observe que podemos identificar um elemento ${\displaystyle g\in G}$ com um morfismo ${\displaystyle g\in Mor_{\mathcal {C}}(A,B)}$ e, neste caso, ${\displaystyle d(g)}$ e ${\displaystyle r(g)}$ correspondem aos morfismos identidade do domínio e da imagem de ${\displaystyle g}$. É comum que, neste caso, identifiquemos um objeto ${\displaystyle A}$ com o seu morfismo identidade ${\displaystyle Id_{A}}$.

O conjunto das matrizes quadradas de ordem ${\displaystyle n}$ com entradas reais ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ é um grupo abeliano com a operação de adição. A união dos grupos ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}(\mathbb {R} )}$ é um grupoide, e a soma está definida apenas para matrizes de mesma ordem. Podemos estender este exemplo para matrizes retangulares, também.

Referências

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