A Hipocicloide é uma curva cíclica definida por um ponto de uma circunferência que rola, sem deslizar, dentro de um círculo diretor[ 1]
Uma Hipocicloide pode ser definida pelas seguintes equações paramétricas:
f ( θ ) = ( R − r ) cos θ + r cos ( R − r r θ ) ( 1 ) {\displaystyle f(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos({\frac {R-r}{r}}\theta )\,\qquad (1)} g ( θ ) = ( R − r ) sen θ − r sen ( R − r r θ ) ( 2 ) {\displaystyle g(\theta )=(R-r)\operatorname {sen} \theta -r\operatorname {sen}({\frac {R-r}{r}}\theta )\,\qquad (2)} em que R , {\displaystyle R,} r , {\displaystyle r,} k = R r {\displaystyle k={R \over r}}
f ( θ ) = r ( k − 1 ) cos θ + r cos ( ( k − 1 ) θ ) {\displaystyle f(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\,} g ( θ ) = r ( k − 1 ) sen θ − r sen ( ( k − 1 ) θ ) . {\displaystyle g(\theta )=r(k-1)\operatorname {sen} \theta -r\operatorname {sen} \left((k-1)\theta \right).\,} Evoluta de uma hipocicloide com k = 5 e r = 5. Na geometria diferencial de curvas, a evoluta da curva é o local de todos os seus centros de curvatura. A evoluta de uma hipocicloide é outra hipocicloide, como pode-se observar na figura ao lado. A evoluta de uma hipocicloide pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas:
X e ( θ ) = f ( θ ) − ( f ′ 2 ( θ ) + g ′ 2 ( θ ) ) g ′ ( θ ) f ′ ( θ ) g ″ ( θ ) − f ″ ( θ ) g ′ ( θ ) {\displaystyle X_{e}(\theta )=f(\theta )-{\frac {(f'^{2}(\theta )+g'^{2}(\theta ))g'(\theta )}{f'(\theta )g''(\theta )-f''(\theta )g'(\theta )}}\,}
Y e ( θ ) = g ( θ ) − ( f ′ 2 ( θ ) + g ′ 2 ( θ ) ) f ′ ( θ ) f ′ ( θ ) g ″ ( θ ) − f ″ ( θ ) g ′ ( θ ) {\displaystyle Y_{e}(\theta )=g(\theta )-{\frac {(f'^{2}(\theta )+g'^{2}(\theta ))f'(\theta )}{f'(\theta )g''(\theta )-f''(\theta )g'(\theta )}}\,} Involuta de uma hipocicloide com k = 5 e r = 5 A involuta de uma hipocicloide é outra hipocicloide, como pode-se observar na figura ao lado. A involuta de uma hipocicloide pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas:
X i ( θ ) = f ( θ ) − s f ′ ( θ ) f ′ 2 ( θ ) + g ′ 2 ( θ ) {\displaystyle X_{i}(\theta )=f(\theta )-{\frac {sf'(\theta )}{\sqrt {f'^{2}(\theta )+g'^{2}(\theta )}}}\,}
Y i ( θ ) = g ( θ ) − s g ′ ( θ ) ( f ′ 2 ( θ ) + g ′ 2 ( θ ) {\displaystyle Y_{i}(\theta )=g(\theta )-{\frac {sg'(\theta )}{\sqrt {(f'^{2}(\theta )+g'^{2}(\theta )}}}\,} em que s {\displaystyle s}
s = ∫ 0 θ f ′ 2 ( θ ) + g ′ 2 ( θ ) d θ {\displaystyle s=\int _{0}^{\theta }{\sqrt {f'^{2}(\theta )+g'^{2}(\theta )}}d\theta \,}
Hipocicloide Encurtada Se o ponto da curva estiver dentro da circunferência, a curva descrita será uma hipocicloide encurtada, como na figura ao lado (curva vermelha)[ 2]
Hipocicloide Alongada Se o ponto da curva estiver fora da circunferência, a curva descrita será uma hipocicloide alongada, como na figura ao lado (curva vermelha).[ 2]
Exemplos de hipocicloides k=5
k=6
k=2.1
k=3.8
k=5.5
k=7.2
↑ Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988, cap. 13, p. 288↑ a b [1] Curvas cíclicas. Página acessada em 24-07-2011. [2] Animação da cicloide, epicicloide, hipocicloide. Página acessada em 24-07-2011.[3] Movimentos com vínculos, página visitada em 20-07-2011.
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