Um triângulo Em trigonometria , a lei das tangentes [ 1] triângulo e os comprimentos de seus lados opostos. Tal proposição foi descoberta por volta de 1580, pelo matemático François Viète .[ 2]
Sejam a , b e c os comprimentos dos três lados do triângulo e α, β e γ, os respectivos ângulos opostos a estes três lados. A lei das tangentes estabelece que
a − b a + b = tan [ 1 2 ( α − β ) ] tan [ 1 2 ( α + β ) ] . {\displaystyle {\dfrac {a-b}{a+b}}={\dfrac {\tan \left[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right]}{\tan \left[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right]}}.} Seja um triângulo não isósceles e não retângulo A B C , {\displaystyle ABC\,\!,}
a + b a − b = tan [ 1 2 ( A ^ + B ^ ) ] tan [ 1 2 ( A ^ − B ^ ) ] , {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}},}
a + c a − c = tan [ 1 2 ( A ^ + C ^ ) ] tan [ 1 2 ( A ^ − C ^ ) ] , {\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {C}})]}},}
b + c b − c = tan [ 1 2 ( B ^ + C ^ ) ] tan [ 1 2 ( B ^ − C ^ ) ] {\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}-{\widehat {C}})]}}}
Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:
a s e n A ^ = b s e n B ^ {\displaystyle {\frac {a}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}}={\frac {b}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}}
⇒ a b = s e n A ^ s e n B ^ {\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}}
Usando uma propriedade das proporções, temos que:
a + b a − b = s e n A ^ + s e n B ^ s e n A ^ − s e n B ^ {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}+\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}{\mathrm {sen} \,{\widehat {A}}-\mathrm {sen} \,{\widehat {B}}}}}
Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:
a + b a − b = 2 s e n A ^ + B ^ 2 ⋅ cos A ^ − B ^ 2 2 s e n A ^ − B ^ 2 ⋅ cos A ^ + B ^ 2 {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}}{2\mathrm {sen} \,{\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}}}}
⇒ a + b a − b = tan [ 1 2 ( A ^ + B ^ ) ] tan [ 1 2 ( A ^ − B ^ ) ] {\displaystyle \Rightarrow {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}}}
Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.
French
Deutsch
![{\displaystyle {\dfrac {a-b}{a+b}}={\dfrac {\tan \left[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right]}{\tan \left[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282bcf9f6d8c179e013d828c4752e053565ddad1)
![{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99733869a4fc613c1e3e67384da4491ddc62080a)
![{\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {C}})]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842c1df3b4a8c76baa0f2fb405289e75b9ecccc2)
![{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}-{\widehat {C}})]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03adc00954bb42600ec2f5b2d2c4c23ecf32d23e)
![{\displaystyle \Rightarrow {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b580e2cd91f17569311450f2622a94ad82c0163)