Lista de fórmulas envolvendo π – Wikipédia, a enciclopédia livre
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a constante matemática π |
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Tópicos relacionados |
Esta é uma lista de fórmulas significantes envolvendo a constantes matemática .
Geometria euclidiana
[editar | editar código-fonte]sendo C o perímetro da circunferência e d seu diâmetro.
sendo A a área da circunferência e r seu raio.
sendo V o volume da esfera e r seu raio.
sendo SA a área da superfície da esfera e r seu raio.
Física
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- Período de um pêndulo com pequena amplitude:
- Fórmula da flambagem:
Fórmulas resultando
[editar | editar código-fonte]Integrais
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- (ver Integral Gaussiana).
- (quando a trajetória de integração percorre uma vez no sentido anti-horário em torno de 0. Ver também fórmula integral de Cauchy)
- (ver também prova de que 22/7 é maior que π).
Séries infinitas eficientes
[editar | editar código-fonte]- (ver também duplo fatorial)
- (ver algoritmo de Chudnovsky)
- (ver Séries de Ramanujan–Sato)
As seguintes são eficientes para calcular dígitos binários arbitrários de pi:
- (ver fórmula BBP)
Outras séries infinitas
[editar | editar código-fonte]- (ver também problema de Basileia e função zeta de Riemann)
- , sendo B2n um números de Bernoulli.
- (Euler, 1748)
- Após os primeiros dois termos, os sinais são determinados como segue: Se o denominador é primo da forma 4m - 1, o sinal é positivo; se o denominador é um primo da forma 4m + 1, o sinal é negativo; para números compostos, o sinal é igual ao produto dos seus sinais em seus fatores.[3]
- Também:
- onde é o n-ésimo número de Fibonacci.
Fórmulas do tipo Machin
[editar | editar código-fonte]Ver também fórmula de Machin.
(Unidades dos ângulos em radianos)
- (fórmula original de John Machin)
sendo o n-ésimo número de Fibonacci.
Séries infinitas
[editar | editar código-fonte]Algumas séries infinitas envolvendo pi são:[4]
onde
Produtos infinitos
[editar | editar código-fonte]- (Euler)
- onde os numeradores são primos ímpares; cada denominador é um múltiplo de quatro próximo ao numerador.
- (see also Wallis product)
Frações contínuas
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Para mais informações sobre esta terceira identidade ver fração contínua de Euler.
(Ver também fração contínua e fração contínua generalizada.)
Miscelânea
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- (ver função totiente de Euler)
- (ver função totiente de Euler)
- (ver também função gama)
- (onde agm é a média aritmética-geométrica)
- (where mod is the modulo function which gives the rest of a division this formula is getting better for higher n)
- (soma de Riemann para avaliar a área da circunferência unitária)
Referências
- ↑ Cetin Hakimoglu-Brown Derivation of Rapidly Converging Infinite Series
- ↑ Weisstein, Eric W. "Pi Formulas", MathWorld
- ↑ Carl Boyer, A History of Mathematics, Chapter 21., p. 488-489
- ↑ Simon Plouffe / David Bailey. «The world of Pi». Pi314.net. Consultado em 29 de janeiro de 2011
«Collection of series for π». Numbers.computation.free.fr. Consultado em 29 de janeiro de 2011
Ver também
[editar | editar código-fonte]Leitura adicional
[editar | editar código-fonte]- Peter Borwein, The Amazing Number Pi
- Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: Number Theory 1: Fermat's Dream. American Mathematical Society, Providence 1993, ISBN 0-8218-0863-X.