Operador de Laplace-Beltrami – Wikipédia, a enciclopédia livre
Em geometria diferencial, o operador de Laplace pode ser generalizado para operar em funções definidas em superfícies no espaço euclidiano e, mais em geral, em variedades Riemannianas e pseudo-Riemanniana. Este operador mais geral é conhecido pelo nome de operador de Laplace-Beltrami, em homenagem a Laplace e Beltrami. Como o Laplaciano, o operador de Laplace-Beltrami é definido como a divergência de gradiente, e um operador linear tendo funções em funções. O operador pode ser estendido para operar em tensores como o desvio da derivada covariante. Alternativamente, o operador pode ser generalizado para operar em formas diferenciais usando a derivada exterior[1] e de divergência. O operador resultante é chamado de operador de Laplace-de Rham (em homenagem a Georges de Rham).[2]
Operações
[editar | editar código-fonte]O operador de Laplace-Beltrami, como o Laplaciano, é a divergência[3] do gradiente[4]:
Uma fórmula explícita em coordenadas locais[5] é possível.
Suponha primeiro que M é uma variedade Riemanniana orientada. A orientação permite que se especifique uma forma de volume definida em M, dada em um sistema de coordenadas orientado xi por:
onde os dxi são as 1-formas[6] que formam a base dual[7] para os vetores de base.[8]
e é o produto exterior.[9] Neste caso |g| := |det(gij)| é o valor absoluto da determinante do tensor métrico gij.
Referências
- ↑ Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. [S.l.]: Dover Publications. 20 páginas. 0-486-66169-5
- ↑ Alice Herrera de Figueiredo (2012). «O OPERADOR DE LAPLACE-BELTRAMI DISCRETO E APLICAÇÕES EM MALHAS» (PDF). PIBIC - Programa Institucional de Iniciação Científica do CNPq
- ↑ Martins, E. R.; Capelas de Oliveira, E. (2006). Equações diferenciais, metodo de separação de variáveis e os sistemas de Stäckel. Campinas (SP): Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
- ↑ Pereira, Agnaldo Souza; Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de (1 de janeiro de 2007). «Cálculo II». Universidade do Estado do Amazonas
- ↑ CLAY SHONKWILER. «GEOMETRY HW 9» (PDF). Primavera 2004[ligação inativa]
- ↑ J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. [S.l.]: W.H. Freeman & Co. p. 57. ISBN 0-7167-0344-0
- ↑ Leonid P. Lebedev. Michael J. Cloud &, Victor A. Eremeyev, Tensor Analysis With Applications to Mechanics., World Scientific, 2010, ISBN 9789814313124
- ↑ Tu, Loring W. (2010). «Vector fields». An Introduction to Manifolds. [S.l.]: Springer. p. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3
- ↑ R. Penrose (2007). The Road to Reality. [S.l.]: Vintage books. ISBN 0-679-77631-1