Em econometria de séries temporais, Operador de defasagem é o termo usado para designar o operador que representa o número de períodos associados a uma observação precedente.
O operador defasagem "L" é definido como sendo um operador linear tal que, para qualquer valor
, teremos[1]:
, ou seja, ![{\displaystyle L^{i}={\frac {y_{t-i}}{y_{t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a70b6981fdc7883cb459e1135d13702226e03b)
onde
significa simplesmente a defasagem de
por "i" períodos.
As seguintes propriedades valem para os operadores defasagem
- "i"pode assumir qualquer valor inteiro. Se assumir valor negativo, representa períodos à frente e não para trás:
, ![{\displaystyle \,L^{-3}y_{t}=y_{t+3}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b60b6a1abd19cae6743a7849930811ef705096)
- A defasagem de uma constante "c" é a constante:
[1] - Distributiva:
[1] - Associativa da multiplicação:
[1]
Os operadores defasagem permitem uma notação concisa para escrever equações a diferença[1].
Por exemplo, seja a equação de ordem "p"[1]:
![{\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}\cdot y_{t-1}+a_{2}\cdot y_{t-2}+...+a_{p}\cdot y_{t-p}+\varepsilon _{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cd0b4012e5ade334dec3d8e5ad9ce4c12fdbbc)
Colocando todos os termos
para o lado esquerdo da equação e os demais para o lado direito, temos:
![{\displaystyle y_{t}-a_{1}\cdot y_{t-1}-a_{2}\cdot y_{t-2}-...-a_{p}\cdot y_{t-p}=a_{0}+\varepsilon _{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e18d6b447fff28812291ca7c78e13abb905cac)
Colocando
em evidência, temos:
![{\displaystyle \left[1-a_{1}{\frac {y_{t-1}}{y_{t}}}-a_{2}{\frac {y_{t-2}}{y_{t}}}-...-a_{p}{\frac {y_{t-p}}{y_{t}}}\right]y_{t}=a_{0}+\varepsilon _{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9bf6ab84655091978adcb8fd2ebf89c8c2a80f)
Utilizando o operador defasagem, podemos escrever esta equação como:
![{\displaystyle \left[1-a_{1}L-a_{2}L^{2}-...-a_{p}L^{p}\right]y_{t}=a_{0}+\varepsilon _{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803cf20d47e1d68bf23b896040308a63e59ca8c2)
ou, de maneira ainda mais compacta,
,
onde
pode ser visto como um polinômio do operador defasagem. A notação
é usada para denotar a soma dos coeficientes:
![{\displaystyle A\left(1\right)=1-a_{1}-a_{2}-...-a_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c3f5aed6bc651359cdd72d52c4d0c12d08e580)
- ↑ a b c d e f ENDERS, Walter. Applied Econometric Time Series. Second Edition. Wiley series in probability and statistics. ISBN 0-471-23065-0