Polígono convexo – Wikipédia, a enciclopédia livre

Um polígono convexo é um polígono simples (sem interseções consigo mesmo) onde nenhum segmento de reta conectando dois pontos de seu perímetro passa por fora do polígono. Equivalentemente, é um polígono simples cujo interior é um conjunto convexo.^[1] Em um polígono convexo, todos os ângulos internos são menores ou iguais a 180 graus, enquanto que em um polígono estritamente convexo todos os ângulos interiores são estritamente menores do que 180 graus.

As seguintes propriedades de um polígono simples são todas equivalentes a convexidade:

• Cada ângulo interno é igual ou inferior a 180 graus.
• Cada ponto em cada segmento de reta entre dois pontos dentro ou no perímetro do polígono permanece dentro ou no perímetro.
• O polígono é inteiramente contido em um semiplano definido por cada uma das suas arestas.
• Para cada aresta, pontos interiores são todos do mesmo lado da linha que a contém.
• O ângulo em cada vértice contém todos os outros vértices em suas arestas e interior.
• O polígono é uma envoltória convexa de suas arestas.

Outras propriedades de polígonos convexos incluem:

• A interseção de dois polígonos convexos é um polígono convexo.
• Um polígono convexo pode ser triangulado em tempo linear em um leque de triângulos, que consiste na adição de diagonais desde um vértice até cada um dos outros vértices.
• Teorema de Helly: para cada conjunto de pelo menos três polígonos convexos, se a interseção de cada grupo de três não for vazia, então todo o conjunto tem uma interseção não vazia.
• Teorema de Krein–Millman: um polígono convexo é a envoltória convexa de seus vértices. Assim, é totalmente definido pelo conjunto de seus vértices, e só são necessários os cantos do polígono para recuperar toda a forma de polígono.
• Teorema da separação do hiperplano: quaisquer dois polígonos convexos sem pontos em comum têm uma reta separadora. Se os polígonos são fechadas e pelo menos um deles é compacto, então existem até mesmo duas retas paralelas separadoras (com um espaço entre elas).
• Propriedade do triângulo inscrito: de todos os triângulos contidos em um polígono convexo, existe um triângulo, com uma área máxima cujos vértices coincidem com vértices do polígono.^[2]
• Inscrevendo em um triângulo: todo polígono convexo com área A pode ser inscrito em um triângulo de área, no máximo, igual a 2A. Igualdade é mantida (exclusivamente) para um paralelogramo.^[3]
• Retângulos inscritos/inscrevendo retângulos: para cada corpo convexo C em um plano, podemos inscrever um retângulo r em C tal que uma cópia homotética R de r é circunscrita sobre C e a proporção homotética positiva é de, no máximo, 2 e ${\displaystyle 0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)}$.^[4]
• A largura média de um polígono convexo é igual ao perímetro dividido por Pi. Assim, sua largura é o diâmetro de um círculo com o mesmo perímetro do polígono.^[5]
• Todo polígono inscrito em um círculo (de tal forma que todos os vértices do polígono toquem o círculo), se não houver auto-intersecção, é convexo. No entanto, nem todo polígono convexo pode ser inscrito em um círculo.

As seguintes propriedades de um polígono simples são todas equivalentes à convexidade estrita:

• Cada ângulo interno é estritamente menor que 180 graus.
• Cada segmento de reta entre dois pontos no interior, ou entre dois pontos no perímetro, mas não na mesma aresta, é estritamente interior ao polígono (exceto em suas extremidades, se elas estão nas arestas).
• Para cada aresta, todos os pontos interiores e pontos em outras arestas que não estão contidos nela estão no mesmo lado da reta que a aresta define.
• O ângulo em cada vértice contém todos os outros vértices em seu interior (exceto si mesmo e os dois vértices adjacentes).
• Todo triângulo não degenerado é estritamente convexo.

• Polítopo convexo

Referências

• What is the difference between Concave and Convex?
• Schorn, Peter; Fisher, Frederick (1994), «I.2 Testing the convexity of a polygon», in: Heckbert, Paul S., Graphics Gems IV, ISBN 9780123361554, Morgan Kaufman (Academic Press), pp. 7–15