Exponenciação – Wikipédia, a enciclopédia livre
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Exponenciação ou potenciação é uma operação matemática, escrita como an, envolvendo dois números: a base a e o expoente n. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é,[1] da mesma forma que a multiplicação de n por a pode ser vista como uma soma de n parcelas iguais a a, ou seja, O expoente geralmente é indicado à direita da base, aparecendo sobrescrito ou separado da base por um circunflexo. Pode-se ler an como a elevado à n-ésima potência, ou simplesmente a elevado a n. Alguns expoentes possuem nomes específicos, por exemplo, a2 costuma ser lido como a elevado ao quadrado , a3 como a elevado ao cubo e a4 como a elevado a quarta potência. Assim sucessivamente.
A potência an também pode ser definida quando n é um inteiro negativo, desde que a seja diferente de zero. Não existe uma extensão natural para todos os valores reais de a e n, apesar de que quando a base é um número real positivo é possível definir an para todo número real n, e até mesmo para números complexos através da função exponencial ez. As funções trigonométricas podem ser representadas em termos da exponenciação complexa.
Na resolução de sistemas de equações diferenciais lineares utiliza-se um tipo de exponenciação em que os expoentes são matrizes.
A potenciação também é usada em várias outras áreas, incluindo economia, biologia, física e ciência da computação, com aplicações tais quais juros compostos, crescimento populacional, cinética química, comportamento de ondas e criptografia de chave pública.
Definição
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Grafico2ex.jpg/220px-Grafico2ex.jpg)
As potências são explicadas em uma série de passos envolvendo matemática básica.
Todos esses passos se baseiam na generalização das leis seguintes, que podem ser facilmente provadas para n e m inteiros positivos:
Expoente zero
[editar | editar código-fonte]Para que
continue valendo para n = 0, devemos ter:
Expoentes inteiros negativos
[editar | editar código-fonte]Para que [3]
seja válido para n + m = 0, é necessário que elevar um número (exceto 0) à potência -1 produza seu inverso.
Então esse cálculo fica assim :
Elevando 0 a uma potência negativa implicaria uma divisão por 0, sendo assim indefinido.
Um expoente inteiro negativo também pode ser visto como uma divisão pela base. Logo:
Pode-se provar que, com essa definição, continua valendo para
Expoentes um e zero
[editar | editar código-fonte]- qualquer número elevado a "um" é igual a ele mesmo.
- qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1.
Indeterminações
[editar | editar código-fonte]Na exponenciação, é possível chegar às formas de indeterminação a seguir:
Potências cujo expoente não altera o resultado
[editar | editar código-fonte]Potências de 0
[editar | editar código-fonte]As potências de 0 são as potências de base 0, dados por n>0. A matemática julga ser indeterminado o valor da potência: mas as potências cuja base é 0 e cujo expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0. As outras potências cuja base é 0 e cujo expoente é negativo, têm como resultado (infinito).
Potências de 1
[editar | editar código-fonte]As potências de 1 são as potências de base 1, dados por sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de "n", será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1.
Potências de 10
[editar | editar código-fonte]Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois usamos um sistema decimal. Por exemplo, é igual a um milhão, que é 1 seguido de 6 zeros. Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, 299 792 458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2,99792458 × e então aproximada para 2,998 × Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa = 1 000, logo, um quilómetro é igual a 1 000 metros.
Potências de 2
[editar | editar código-fonte]Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória. 1 kilobyte = = 1 024 bytes. Como pode haver confusão entre os significados padrão dos prefixos, em 1998 a Comissão Eletrotécnica Internacional aprovou vários prefixos binários novos. Por exemplo, o prefixo de múltiplos de 1 024 é kibi-, então 1 024 bytes é equivalente a um kibibyte. Outros prefixos são mebi-, gibi- e tebi-.
Expoentes fracionários
[editar | editar código-fonte]Para que a expressão
seja válida para números racionais, devemos ter:
Ou, de forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o expoente do radicando.
Observe que para que isso seja válido, independentemente da fração usada no expoente, deve-se impor que x seja um número positivo e b diferente de 0.
Expoentes decimais
[editar | editar código-fonte]No caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em fração e depois em raiz.
Expoentes irracionais
[editar | editar código-fonte]Como a exponenciação tem a propriedade de que expoentes próximos geram resultados próximos (essa noção pode ser tornada mais precisa usando-se o conceito de continuidade), pode-se definir expoentes irracionais:
Expoentes imaginários e complexos
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
Euler divulgou a fórmula que, sob a forma equivalente já era conhecida por Roger Cotes.
Assim, usando-se logaritmos, pode-se definir para qualquer real e complexo, :
Sintaxe em linguagens de programação e programas
[editar | editar código-fonte]A maioria das linguagens de programação fornece métodos para executar a exponenciação, porém eles variam entre as diversas linguagens:
- x ^ y: Basic, Matlab, R, Excel, Calculadora Cientifica e vários outros
- x ** y: Fortran, Perl, Python, Ruby, Bash
- pow(x, y): C, C++ (deve-se incluir a biblioteca math.h)
- Math.pow(x, y): Java, JavaScript, ActionScript 3
- $x^y$: LaTeX
- Em Pascal não existe a função correspondente, podendo ser utilizado no lugar, por exemplo, a função logaritmo (função ln()) juntamente com a exponencial (função exp()) (ambos na base e), na forma exp(y * ln(x)), ou até mesmo um ciclo de repetição, com multiplicações sucessivas.
- Os compiladores Pascal aceitam a notação x ^ y.
Um cuidado deve ser tomado: como, normalmente, os compiladores traduzem a potenciação pela expressão exp(y * ln(x)), quando e y for inteiro, o compilador costuma dar erro, mesmo havendo uma resposta única.
Outro cuidado deve ser tomado no Excel. Ao contrário de outras linguagens de programação, uma expressão do tipo =-A1^2, que, significaria tirar o quadrado de A1 e depois aplicar o sinal menos, no Excel pode significar (-A1)^2. Para evitar este bug (e outros), recomenda-se o uso de parêntesis sempre no Excel, mesmo quando, matematicamente, eles sejam redundantes. Além disso, a exponencial no Excel pode ser substituída por uma função (em português, "POTÊNCIA", em inglês, "POWER"), tornando o código totalmente ilegível.
Referências
- ↑ José Adelino Serrasqueiro, Tratado de Álgebra Elementar, p.7, [ver wikisource]
- ↑ José Adelino Serrasqueiro, Tratado de Álgebra Elementar, p.56, [ver wikisource]
- ↑ José Adelino Serrasqueiro, Tratado de Álgebra Elementar, p.75, [ver wikisource]