Relação reflexiva – Wikipédia, a enciclopédia livre
Na matemática, uma relação reflexiva é uma relação binária sobre um conjunto em que cada elemento de está relacionado a si mesmo.[1][2] Formalmente, isso pode ser escrito .
Um exemplo de uma relação reflexiva é a relação "é igual a" no conjunto de números reais, já que todo número real é igual a ele mesmo. Diz-se que uma relação reflexiva tem a propriedade reflexiva ou é possuidora de reflexividade. Juntamente com a simetria e a transitividade, a reflexividade é uma das três propriedades que definem as relações de equivalência.
Termos relacionados
[editar | editar código-fonte]Uma relação binária é chamada de irreflexiva, ou antirreflexiva, se não relacionar qualquer elemento a si mesma. Um exemplo é a relação "maior que" () nos números reais. Nem toda relação que não é reflexiva é irreflexiva; é possível definir relações em que alguns elementos estão relacionados a si mesmos, mas outros não (ou seja, nem todos nem nenhum). Por exemplo, a relação binária "o produto de e é par" é reflexiva no conjunto de números pares, irreflexiva no conjunto de números ímpares e não reflexiva nem irreflexiva no conjunto de números naturais.
Uma relação em um conjunto é chamada quase reflexiva se todo elemento relacionado a algum elemento também estiver relacionado a si mesmo, formalmente: . Um exemplo é a relação "tem o mesmo limite que" no conjunto de sequências de números reais: nem toda sequência tem um limite e, portanto, a relação não é reflexiva, mas se uma sequência tem o mesmo limite de alguma sequência, então tem o mesmo limite que ela. Faz sentido distinguir a quase reflexividade esquerda e direita, definida por [3] e , respectivamente. Por exemplo, uma relação euclidiana esquerda é sempre esquerda, mas não necessariamente direita, quase reflexiva.
Uma relação em um conjunto é chamada de super-reflexiva se para todos e em implica que se então .[4] Um exemplo de uma relação super-reflexiva é a relação em números inteiros em que cada número ímpar está relacionado a si mesmo e não há outras relações. A relação de igualdade é o único exemplo de uma relação tanto reflexiva como super-reflexiva, e qualquer relação super-reflexiva é um subconjunto da relação de identidade. A união de uma relação super-reflexiva e transitiva é sempre transitiva.
Uma relação reflexiva em um conjunto não-vazio não pode ser irreflexiva, nem assimétrica, nem intransitiva.
O fecho reflexivo de uma relação binária em um conjunto é a menor relação reflexiva em que é um superconjunto de . Equivalentemente, é a união de e a relação de identidade em , formalmente: . Por exemplo, o fechamento reflexivo de é .
A redução reflexiva, ou núcleo irreflexivo, de uma relação binária em um conjunto é a menor relação tal que compartilha o mesmo fechamento reflexivo que . Pode ser visto de uma maneira como o oposto do fecho reflexivo. É equivalente ao complemento da relação de identidade em em relação a , formalmente: . Isto é, é equivalente a exceto onde é verdadeiro. Por exemplo, a redução reflexiva de é .
Exemplos
[editar | editar código-fonte]Exemplos de relações reflexivas incluem:
- "é igual a" (igualdade)
- "é um subconjunto de" (inclusão de conjunto)
- "divide" (divisibilidade)
- "é maior que ou igual a"
- "é menor ou igual a"
Exemplos de relações irreflexivas incluem:
- "não é igual a"
- "é coprimo a" (para os inteiros >1, já que 1 é coprimo a si mesmo)
- "é um subconjunto próprio de"
- "é maior que"
- "é menor do que"
Número de relações reflexivas
[editar | editar código-fonte]O número de relações reflexivas em um conjunto de -elementos é .[5]
Lógica filosófica
[editar | editar código-fonte]Autores em lógica filosófica frequentemente usam terminologia diferente. As relações reflexivas no sentido matemático são chamadas totalmente reflexivas na lógica filosófica, e as relações quase reflexivas são chamadas reflexivas.[6][7]
Notas
[editar | editar código-fonte]- ↑ Levy 1979:74
- ↑ Relational Mathematics, 2010
- ↑ The Encyclopædia Britannica calls this property quasi-reflexivity.
- ↑ Fonseca de Oliveira, J. N., & Pereira Cunha Rodrigues, C. D. J. (2004). Transposing Relations: From Maybe Functions to Hash Tables. In Mathematics of Program Construction (p. 337).
- ↑ On-Line Encyclopedia of Integer Sequences A053763
- ↑ Alan Hausman; Howard Kahane; Paul Tidman (2013). Logic and Philosophy — A Modern Introduction. [S.l.]: Wadsworth. ISBN 1-133-05000-X Here: p.327-328
- ↑ D.S. Clarke; Richard Behling (1998). Deductive Logic — An Introduction to Evaluation Techniques and Logical Theory. [S.l.]: University Press of America. ISBN 0-7618-0922-8 Here: p.187
Referências
[editar | editar código-fonte]- Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
- Lidl, R. and Pilz, G. (1998). Applied abstract algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag. ISBN 0-387-98290-6
- Quine, W. V. (1951). Mathematical Logic, Revised Edition. Reprinted 2003, Harvard University Press. ISBN 0-674-55451-5
- Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Reflexivity», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer