Teorema de Lagrange (teoria dos números) – Wikipédia, a enciclopédia livre
Na teoria dos números, o teorema de Lagrange é uma afirmação, que leva o nome de Joseph-Louis Lagrange, sobre a frequência com que um polinômio sobre os inteiros pode ser avaliado como um múltiplo de um primo fixo. Mais precisamente, afirma que se é um número primo e é um polinômio com coeficientes inteiros, então:[1] [2]
- todo coeficiente de é divisível por , ou
- tem no máximo soluções incongruentes
onde é o grau do polinômio . As soluções são "incongruentes" se não diferirem por um múltiplo de . Se o módulo não for primo, então é possível que haja mais de soluções.[1][2]
Uma prova do teorema de Lagrange
[editar | editar código-fonte]As duas idéias principais são as seguintes. Seja o polinômio obtido de tomando os coeficientes . Agora:
- é divisível por se e somente se ; e
- não tem mais do que raízes.[1][2]
Mais rigorosamente, começando a observar-se que se e somente se cada coeficiente de é divisível por . Suponha que ; seu grau é, portanto, bem definido. É fácil ver que . Para provar (1), primeiro observe que podemos calcular diretamente, ou seja, conectando (a classe de resíduo de) e executando aritmética em , ou reduzindo . Logo, se e somente se , ou seja, se e somente se for divisível por . Para provar (2), observe que é um corpo, o que é um fato padrão (uma prova rápida é notar que, como é primo, é um domínio integral finito, portanto, é um corpo). Outro fato padrão é que um polinômio diferente de zero sobre um campo tem no máximo tantas raízes quanto seu grau; isso segue do algoritmo de divisão.[1][2]
Finalmente, observe-se que duas soluções são incongruentes se e somente se . Juntando tudo, o número de soluções incongruentes por (1) é o mesmo que o número de raízes de , que por (2) é no máximo , que é no máximo .[1][2]
Referências
- ↑ a b c d e LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. p. 42. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001
- ↑ a b c d e Tattersall, James J. (2005). Elementary Number Theory in Nine Chapters 2nd ed. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 198. ISBN 0-521-85014-2. Zbl 1071.11002