Em matemática , o teste da condensação de Cauchy é um teste padrão de convergência para séries infinitas. Seja uma seqüência não-negativa e monotonicamente decrescente f ( n ) {\displaystyle f(n)} de números reais , então a série ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)} converge se e somente se a "série condensada" ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})} converge. Ademais, se essas séries convergem, a soma da série condensada não é maior do que 2 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle 2\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)} .
Este teste é bastante técnico, assim como o teste de convergência de Abel , e seu principal objetivo é mostrar a convergência das p-séries quando p > 1 {\displaystyle p>1} .
O teste da condensação de Cauchy segue das seguintes estimativas:
0 ≤ ∑ n = 1 ∞ f ( n ) ≤ ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) ≤ 2 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) ≤ + ∞ {\displaystyle 0\ \leq \ \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\ \leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ \leq \ +\infty }
as quais devem ser entendidas como desigualdades nos números reais estendidos .
Para se chegar a primeira desigualdade os termos são reassociados em grupos com número de elementos sendo potências de dois, e depois, em cada grupo, substitui-se seus termos pelo primeiro - que é o maior deles -, já que eles formam uma seqüência não-crescente.
∑ n = 1 ∞ f ( n ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 4 ) + f ( 5 ) + f ( 6 ) + f ( 7 ) + ⋯ = f ( 1 ) + ( f ( 2 ) + f ( 3 ) ) + ( f ( 4 ) + f ( 5 ) + f ( 6 ) + f ( 7 ) ) + ⋯ ≤ f ( 1 ) + ( f ( 2 ) + f ( 2 ) ) + ( f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) ) + ⋯ = f ( 1 ) + 2 f ( 2 ) + 4 f ( 4 ) + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle {\begin{array}{rcccccccl}\sum _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}} Para se chegar a segunda desigualdade, os termos da série são novamente reassociadas em grupos com número de elementos sendo potências de dois, onde em cada grupo é tomada, novamente, uma substituição por um termo maior na série não-crescente f ( n ) {\displaystyle f(n)} .
∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) = f ( 1 ) + ( f ( 2 ) + f ( 2 ) ) + ( f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) ) + ⋯ = ( f ( 1 ) + f ( 2 ) ) + ( f ( 2 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) ) + ⋯ ≤ ( f ( 1 ) + f ( 1 ) ) + ( f ( 2 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 3 ) ) + ⋯ = 2 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&=&{\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq &{\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\end{array}}} Visualização do argumento: somas parciais das séries ∑ f ( n ) {\displaystyle \textstyle \sum f(n)} , ∑ 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle \sum 2^{n}f(2^{n})} e 2 ∑ f ( n ) {\displaystyle 2\sum f(n)} . A série ∑ 1 n p {\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{p}}}} converge se p > 1 {\displaystyle p>1} e diverge se p ≤ 1 {\displaystyle p\leq 1} .
Se p ≤ 0 {\displaystyle p\leq 0} a série claramente diverge, já que lim n → ∞ 1 n p ≠ 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{p}}}\neq 0} . Se p > 0 {\displaystyle p>0} , aplicando o teste da condensação, temos:
∑ n = 0 ∞ 2 n 1 2 n p = ∑ n = 0 ∞ 2 ( 1 − p ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}{\frac {1}{2^{np}}}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{(1-p)n}} .
Temos 2 1 − p < 1 {\displaystyle 2^{1-p}<1} se e somente se 1 − p < 0 {\displaystyle 1-p<0} , ou seja, p > 1 {\displaystyle p>1} . O resultado segue da convergência da série série geométrica , fazendo r = 2 1 − p {\displaystyle r=2^{1-p}} .[ 1]
Se p > 1 {\displaystyle p>1} então a série ∑ n = 2 ∞ 1 n ( log n ) p {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\log {n})^{p}}}} converge. Se p ≤ 1 {\displaystyle p\leq 1} então a série diverge.
A monotonocidade da função logarítmica implica que log n {\displaystyle \log {n}} é crescente. Sendo assim, 1 / n log n {\displaystyle 1/n\log {n}} é decrescente, e o teste da condensação pode ser aplicado.
∑ n = 1 ∞ 2 n 1 2 n ( log 2 n ) p = ∑ n = 1 ∞ 1 ( n log 2 ) p = 1 ( log 2 ) p ∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}{\frac {1}{2^{n}(\log {2^{n}})^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n\log {2})^{p}}}={\frac {1}{(\log {2})^{p}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}} e o resultado segue do teorema anterior.[ 2]
Referências ↑ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis Terceira ed. [S.l.]: McGraw-Hill. p. 62. ISBN 978-0-07-054235-8 ↑ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis Terceira ed. [S.l.]: McGraw-Hill. p. 63. ISBN 978-0-07-054235-8