Transformada de Laplace – Wikipédia, a enciclopédia livre

Em matemática, a transformada de Laplace é uma transformada integral epónimo a seu descobridor, o matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace (/ləˈplɑːs/), que utilizou uma forma semelhante em seus trabalhos de Teoria da Probabilidade. A sua teoria foi desenvolvida mais a fundo entre o século XIX e o início do século XX por Matyáš Lerch, Oliver Heaviside e Thomas John I'Anson Bromwich.

A transformada gera uma função de variável ${\displaystyle s}$ (frequência) a partir de uma função de variável ${\displaystyle t}$ (tempo) e vice-versa.

Dada uma simples descrição matemática ou funcional de entrada ${\displaystyle -}$ ou saída ${\displaystyle -}$ de um sistema, a transformada de Laplace fornece uma descrição alternativa que, em um grande número de casos, diminui a complexidade do processo de análise do comportamento do sistema ou sintetiza um novo sistema baseado em características específicas. Nesse sentido, a transformada de Laplace converte uma equação diferencial em equação algébrica e uma convolução em multiplicação.

A atual aplicação da transformada (principalmente em engenharia) foi inicialmente descoberta durante a Segunda Guerra Mundial e substituiu o cálculo operacional.$${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-st}\operatorname {d} \!t\ \ \ \ {\begin{aligned}&{\mathsf {Forma\ pura\ (ou\ bilateral)}}\\&{\mathsf {da\ transformada\ de\ Laplace}}\end{aligned}}}$$Quando fala-se em "transformada de Laplace" sem especificação, geralmente, refere-se à forma unilateral. A transformada de Laplace é originalmente definida pela forma bilateral, em que ${\displaystyle \liminf =-\infty }$ e ${\displaystyle \limsup =\infty }$. Assim, a transformada unilateral ${\displaystyle -}$ em que qualquer argumento é múltiplo da função de Heaviside, ${\displaystyle u(t-a)}$ ${\displaystyle -}$ torna-se apenas um caso especial devido ao intervalo de domínio da função de Heaviside.$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\lim _{\ \ \alpha \to 0^{+}}\int _{\alpha }^{\infty }f(t)\ e^{-st}\ \operatorname {d} \!t\ \ {\begin{aligned}&{\mathsf {Forma\ unilateral}}\\&{\mathsf {da\ transformada\ de\ Laplace}}\end{aligned}}}$$A transformada de Laplace ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}}$ da função ${\displaystyle f(t)}$é uma função de ${\displaystyle s}$, que representa a frequência. Utilizamos então como notação a letra maiúscula para a transformada e letra minúscula para a função.

Ex: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{g(t)\}=G(s)}$.

Para calcular a transformada de Laplace de uma função aplicamos a integral e definimos algumas condições para podermos tirar o limite.

Ex: ${\displaystyle f(t)=1}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{1\}=\int _{0}^{\infty }1\cdot e^{-st}dt}$

${\displaystyle =\lim _{a\to \infty }\int _{0}^{a}e^{-st}dt}$

${\displaystyle =\lim _{a\to \infty }{\dfrac {(1-e^{-sa})}{s}}}$, porém esse limite só existe se o ${\displaystyle s>0}$.

Então conclui-se que:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{1\}={\frac {1}{s}}}$

Agora se considerarmos que ${\displaystyle f(t)=t}$ realizando as integrações necessárias (por partes) concluímos que:

=${\displaystyle {\mathcal {L}}\{t\}=\left[{\frac {te^{-st}}{-s}}\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}\,dt}$

=${\displaystyle \left[{\frac {te^{-st}}{-s}}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {1}{s}}\int _{0}^{\infty }{e^{-st}}\,dt}$

=${\displaystyle {\mathcal {L}}\{t\}={\frac {1}{s^{2}}}}$

Com isso concluímos uma expressão para a transformada de ${\displaystyle t^{n}}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{n}\}={\frac {n!}{s^{n+1}}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s>0}$

A transformada de Laplace possui diversas aplicações na ciência e na tecnologia.

A transformada de Laplace ganhou esse nome em homenagem ao matemático e astrônomo Pierre-Simon Laplace, que usou uma transformada semelhante em um estudo sobre a teoria da Probabilidade.^[1] No final do século XIX e início do século XX, a teoria de geração de funções começou a ser mais desenvolvida pelo matemáticos Mathias Lerch, Oliver Heaviside e Thomas Bromwich; no entanto, somente após a segunda guerra mundial que a transformada de Laplace foi difundida (principalmente na engenharia), substituindo o cálculo operacional de Heaviside. O responsável por ter apresentado as vantagens de utilizar a transformada foi o matemático Gustav Doetsch.

Antes dos estudos de Laplace, alguns métodos de transformadas integrais foram apresentadas, mas pouco desenvolvidos. A partir de 1744, Leonhard Euler investigou a existência de integrais da forma

${\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}dx\;\;\;\;\;e\;\;\;\;\;z=\int X(x)x^{A}dx}$

com a intenção de resolver equações diferenciais, mas não perseguiu o conceito.

Admirador de Euler, Joseph Lagrange, procurou compreender também, em seus estudos sobre a função densidade, expressões da forma

${\displaystyle \int X(x)e^{-at}a^{x}dx}$.

Foram com as mesmas intenções de Euler de resolver equações diferenciais que em 1782 Laplace começou seu estudo sobre esse tipo de integrais. Entretanto, em 1785, Laplace deu um passo crucial ao desenvolvimento da teoria de transformadas integrais. Ao invés de focar somente em encontrar soluções de equações a partir do uso da integral, ele passou a aplicar a transformada de modo que fosse encontrada a solução da transformada em si e não da equação inicial. Para isso, Laplace utilizou uma integral da forma

${\displaystyle \int x^{s}\phi (x)dx}$.

Dada uma função ${\displaystyle f(t)}$ em que a sua integral é dada por: ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}$, definida somente para números reais positivos, e se convergir para algum valor, a integral será a transformada de Laplace da função ${\displaystyle f(t)}$. Que é representada por ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}}$.^[2]

A integral que define a transformada de Laplace nem sempre converge e, nesse caso, dizemos que a função não possui transformada de Laplace. As funções ${\displaystyle f(t)=e^{t^{2}}}$e ${\displaystyle f(t)=t^{-1}}$são algumas funções que não possuem transformada de Laplace.

${\displaystyle ''}$ Dizemos que uma função ${\displaystyle f(t)}$ é de ordem exponencial ${\displaystyle c}$ se existem constantes ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle M>0}$ e ${\displaystyle T>0}$ tal que ${\displaystyle \mid \ f(t)\mid \leq M\ e^{ct}}$, ${\displaystyle \forall \ t>T}$. ${\displaystyle ''}$^[2]

As funções ${\displaystyle f(t)=t^{2}}$, ${\displaystyle g(t)=5\cos(t)}$ e ${\displaystyle h(t)=e^{-t}}$são de ordem exponencial, pois$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mid \ t^{2}\ \mid \ \leq \ e^{t}\\&\mid \ 5\cos {t}\ \mid \ \leq \ e^{t}\\&\mid \ e^{-t}\ \mid \ \leq \ e^{t}\end{aligned}}\ \ {\begin{aligned}&t>0\\&t>2\\&t>0\end{aligned}}\ \ .}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Teorema:}}&{\mathsf {\ Se\ f(t)\ {\acute {e}}\ continua\ por\ partes\ no\ intervalo\ [0,\ \infty )\ }}\\&{\mathsf {\ e\ {\acute {e}}\ de\ ordem\ exponencial\ c\ ent{\tilde {a}}o}}\\&{\mathsf {\ a\ transformada\ de\ Laplace\ de\ f(t)\ existe\ para\ s>c.}}\end{aligned}}}$$

Tal teorema apresenta condições suficientes para existência da transformada de Laplace. Estas condições não são, contudo, necessárias. Por exemplo, a função ${\displaystyle f(t)=\ln(t)}$ não é contínua na origem(sequer é limitada quando ${\displaystyle t\rightarrow 0^{+}}$) mas admite uma transformada de Laplace.^[2]

Comportamento no Infinito:

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ {\begin{aligned}{\mathsf {Teorema(2):\ }}[Comportamento\ no\ infinito]&{\mathsf {\ Se\ a\ transformada\ de\ Laplace\ de\ uma\ func{\tilde {a}}o\ limitada\ f(t)\ existe,\ F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\},\ ent{\tilde {a}}o}}\\\\lim_{s\to \infty }F(s)=0\end{aligned}}}$

Demonstração: Por definição,

${\displaystyle \ \ F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}$

Estabelecendo u = s.t , obtemos:

${\displaystyle \ \ F(s)={\frac {\mathcal {1}}{s}}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {u}{s}}\right)\cdot e^{-u}du}$

Considerando que ${\displaystyle f\ }$é limitada, ${\displaystyle M\ }$existe tal que ${\displaystyle |f(t)|<M\ }$, portanto

${\displaystyle \ \ |F(s)|\leq {\frac {M}{s}}\int _{0}^{\infty }e^{-u}du={\frac {M}{s}}}$

Logo, ${\displaystyle |F(s)|\rightarrow 0\ }$ quando ${\displaystyle s\rightarrow \infty \ }$resultando

${\displaystyle \ \ lim_{s\to \infty }F(s)=0}$

Artigo principal: Função de Heaviside

A função de Heaviside é nula para um argumento negativo e unitária para um argumento positivo. Ela respeita a relação ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }u(t)\operatorname {d} \!t\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ t}$ e pode ser definida como$${\displaystyle u(t)={\begin{cases}\ 1\\\ 0\end{cases}}\ \ {\begin{aligned}&caso\ (0,\ \infty )\supset t\\&caso\ (-\infty ,\ 0)\supset t\end{aligned}}\ \ .}$$

Ao efetuar-se a mudança de variável ${\displaystyle t\leftarrow t-a}$, obtém-se a função de Heaviside com descontinuidade em ${\displaystyle t=a}$:

$${\displaystyle u(t-a)={\begin{cases}\ 1\\\ 0\end{cases}}\ \ {\begin{aligned}&caso\ (a,\ \infty )\supset t\\&caso\ (-\infty ,\ a)\supset t\end{aligned}}\ \ .}$$

Torna-se, naturalmente, importante notar que a função de Heaviside não existe em ${\displaystyle t=a}$. Para isso, quando for necessário defini-la neste ponto, toma-se a "função rampa" como aproximação contínua:

$${\displaystyle g_{\varepsilon }(t)={\begin{cases}\ \ \ \ \ 1\\{\frac {t}{2\varepsilon }}+{\frac {1}{2}}\\\ \ \ \ \ 0\end{cases}}\ \ \ {\begin{aligned}&caso\ (\varepsilon ,\ \infty )\supset t\\&caso\ [-\varepsilon ,\ \varepsilon ]\supset t\\&caso\ (-\infty ,\ -\varepsilon )\supset t\end{aligned}}\ \ \ \ {\mathsf {para\ \ \epsilon \ll 1}}\ \ .}$$Talvez a mais importante aplicação da função da Heaviside seja a função pulso.

Artigo principal: Delta de Dirac

Para entender matematicamente a função Delta de Dirac, é conveniente utilizar a função de Heaviside, com a condição de que ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(t)\operatorname {d} \!t\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ 1}$, ou seja,$${\displaystyle \delta _{\epsilon }(t)={\frac {u(t+\epsilon )-u(t-\epsilon )}{2\epsilon }}={\begin{cases}\ 0\\{\frac {1}{2\epsilon }}\\\ 0\end{cases}}\ \ {\begin{aligned}&caso\ (\varepsilon ,\ \infty )\supset t\\&caso\ (-\varepsilon ,\ \varepsilon )\supset t\\&caso\ (-\infty ,\ -\varepsilon )\supset t\end{aligned}}\ \ \ .}$$Analogamente à função de Heaviside, para representar um impulso num instante de tempo que não zero, realiza-se um deslocamento na equação,$${\displaystyle \delta _{\epsilon }(t)={\frac {u(t-a+\epsilon )-u(t-a-\epsilon )}{2\epsilon }}={\begin{cases}\ 0\\{\frac {1}{2\epsilon }}\\\ 0\end{cases}}\ \ {\begin{aligned}&caso\ (a+\varepsilon ,\ \infty )\supset t\\&caso\ (a-\varepsilon ,\ a+\varepsilon )\supset t\\&caso\ (-\infty ,\ a-\varepsilon )\supset t\end{aligned}}\ \ \ .}$$Considera-se então o Delta como o limite da função ${\displaystyle \delta _{\epsilon }(t)}$ em um curto curto intervalo de tempo, quando o parâmetro ${\displaystyle \epsilon }$ tende a zero, isto é, ${\displaystyle \delta (t-a)=\lim _{\epsilon \to 0}\ \delta _{\epsilon }(t-a)\ \ .}$

Assim, define-se a função Delta de Dirac como$${\displaystyle \delta (t-a)={\begin{cases}\infty \\\ 0\end{cases}}\ \ {\begin{aligned}&caso\ t=a\\&caso\ t\neq a\end{aligned}}\ \ .}$$Algumas propriedades fundamentais do Delta de Dirac para a transformada de Laplace são:

Artigo principal: Filtragem
$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-a)f(t)\operatorname {d} \!t=f(a)}$$

Artigo principal: Transformada de Laplace do Delta de Dirac

Uma aplicação em engenharia para a função Delta de Dirac, se dá na utilização da Equação do Helmholtz, usada para cálculos de um sistema de barragem albufeira, na qual o termo Albufeira significa uma área coberta de água, que foi retida pela construção de uma barragem ou até mesmo uma represa num rio, formando uma espécie de lago artificial. Pode ser também utilizada para modelagem de águas subterrânea principalmente de aquíferos, onde a função representa a vazão bombeada por um poço em um ponto específico.

Descrição	Domínio do Tempo	Domínio s	Observações
Linearidade	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	Prova pela lei básica de integração
Derivada no Domínio da frequência	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$
Derivada Geral do Domínio da frequência	${\displaystyle t^{n}f(t)\ }$	${\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }$	forma geral da derivada de n
Derivada	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0^{+})\ }$	f é assumido como uma função diferenciável, e sua derivada é assumida como sendo do tipo exponencial. Isso pode ser obtido pela integração por partes
Segunda derivada	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0^{+})-f'(0^{+})\ }$	f é assumido duas vezes diferenciável e a segunda derivada para ser do tipo exponencial. Segue aplicando a propriedade diferenciação para f′(t).
N-ésima derivada	${\displaystyle f^{(n)}(t)\ }$	${\displaystyle s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{+})\ }$	f s assumido como sendo n-diferenciável, com enésima derivada do tipo exponencial. Segue por indução matemática.
	${\displaystyle {\frac {1}{t}}f(t)\ }$	${\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }$	Isso é deduzido usando a natureza da diferenciação de freqüência e convergência condicional.
Integração do Tempo	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	u(t) e a função de Heaviside (u ∗ f)(t)e e a Convolução de u(t) e f(t).
Mudança de frequência	${\displaystyle e^{at}f(t)\ }$	${\displaystyle F(s-a)\ }$
Mudança de Tempo	${\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$	u(t) função de Heaviside
escalamento de tempo	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)}$	${\displaystyle a>0\ }$
Multiplicação	${\displaystyle f(t)g(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ }$
Convolução	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$	Williams 1973
Conjugamento	${\displaystyle f^{*}(t)}$	${\displaystyle F^{*}(s^{*})}$
Relação Cruzada	${\displaystyle f(t)\star g(t)}$
Função periódica	${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$	f(t) é uma função periódica do período T então f(t) = f(t + T), para todo t ≥ 0. isto e o resultado da mudança do tempo e a propriedade series geométricas.

A transformada de Laplace possui inúmeras propriedades operacionais que permitem a existência tanto da transformada direta quanto da inversa, para uma ampla gama de funções observadas na ciência. Suas propriedades são:

A transformada de Laplace é um operador linear:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {L}}\{\Omega \ f(t)+\Xi \ g(t)\}=\Omega \ {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\Xi \ {\mathcal {L}}\{g(t)\}\\&\Omega \neq \Omega (t)\\&\Xi \neq \Xi (t)\end{aligned}}}$$Demonstração (REAMAT):

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\alpha f(t)+\beta g(t)\}\ {\overset {=}{\ }}\int _{0}^{\infty }[\alpha f(t)+\beta g(t)]\ e^{-st}\operatorname {d} \!t\ \ \ \ {=}\ \int _{0}^{\infty }\alpha f(t)\ e^{-st}\operatorname {d} \!t\ +\ \int _{0}^{\infty }\beta g(t)\ e^{-st}\operatorname {d} \!t\ \ \ \ {=}\ \alpha \int _{0}^{\infty }f(t)\ e^{-st}\operatorname {d} \!t\ +\ \beta \int _{0}^{\infty }g(t)\ e^{-st}\operatorname {d} \!t\ }$$Portanto, tem-se que:

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da derivada

Suponha que P(X) e Q(x) são polinômios tais que o grau de P é menor que o grau de Q. O polinômio Q(x) pode ser fatorado em polinômios de graus um e dois:

${\displaystyle Q(x)=(a_{1}x+b_{1})^{l1}...(a_{n}x+b_{n})^{ln}(c_{1}x^{2}+d_{1}x+e_{1})^{p1}...(c_{m}x^{2}+d_{m}x+e_{m})^{pm}}$

com isso podemos encontrar constantes ${\displaystyle A_{1},1,.....,A_{n},_{l1},...,_{ln},B_{1},1,.....,B_{m},_{p1},...,_{pn},C_{1},1,.....,C_{m},_{p1},...,_{pn}}$tais que:

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{k=0}^{l1-1}{\frac {A_{1},_{k}}{(a_{1}x+b_{1})^{l1-k}}}+...+\sum _{k=0}^{ln-1}{\frac {A_{n},_{k}}{(a_{n}x+b_{n})^{ln-k}}}+\sum _{k=0}^{p1-1}{\frac {B_{1},_{k}x+C_{1},_{k}}{(c_{1}x^{2}+d_{1}x+e_{1})^{p1-k}}}\sum _{k=0}^{pm-1}{\frac {B_{m},_{k}x+C_{m},_{k}}{(c_{m}x^{2}+dx_{m}+e_{m})^{pm-k}}}}$

esse método é usado para calcular integrais de funções racionais e transformadas inversas de Laplace.

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da derivada

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=\ &s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}{\dot {f}}(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)\\=\ &s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-\sum _{k=0}^{n-1}s^{n-1-k}f^{(k)}(0)\end{aligned}}}$$

Artigo principal: Propriedade da transformada de Laplace da integral

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\vartheta )\operatorname {d} \!\vartheta \right\}={\frac {{\mathcal {L}}\{f(t)\}}{s}}\equiv {\frac {F(s)}{s}}}$$

Artigo principal: Propriedade do deslocamento no tempo ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {L}}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=u(t-a)f(t-a)\\&{\mathcal {L}}\left\{u(t-a)f(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)\\&a\in \mathbb {R} -\{(-\infty ,\ 0)\}\end{aligned}}}$$

Artigo principal: Propriedade do deslocamento na frequência ${\displaystyle s}$

Conhecida como deslocamento ou translação do eixo s, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função ${\displaystyle f(t)}$ desde que conheçamos a sua transformada, isto é,

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\\&{\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}f(t)\\&a\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$$

Artigo principal: Teorema do produto de Convolução

Existindo duas funções contínuas por partes em ${\displaystyle [0,\infty ]}$, a convolução de f e g representada por f * g é definida pela integral:$${\displaystyle {\begin{aligned}&\rightarrow \ \ f(t)*g(t)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\operatorname {d} \!\tau \\&\rightarrow \ \ {\mathcal {L}}\{f(t)\ g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}*{\mathcal {L}}\{g(t)\}\\&\rightarrow \ \ {\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}=F(s)\ G(s)\end{aligned}}}$$

Artigo principal: Transformada de Laplace de uma função periódica

Se ${\displaystyle f(t)}$ é uma função contínua por partes, de ordem exponencial e periódica de período ${\displaystyle T}$. Então a transformada de Laplace existe e é da forma:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}={1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}f(t)\ e^{-st}\operatorname {d} \!t}$$

Se ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$, então: ${\displaystyle {d \over dx}F(s)=-{\mathcal {L}}\left\{tf(t)\right\}}$.

Esta pode ser demonstrada usando a definição de transformada de Laplace:

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}F(s)&={d \over ds}\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\\[4pt]&=\int _{0}^{\infty }f(t){d \over ds}(e^{-st})dt\\[4pt]&=\int _{0}^{\infty }f(t)(-t)e^{-st}dt\\[4pt]&=-\int _{0}^{\infty }{tf(t)e^{-st}dt}\\[4pt]&=-{\mathcal {L}}{tf(t)}\end{aligned}}}$

A transformada de Fourier continua e equivalente a avaliação bilateral da transformada de Laplace com argumentos imaginários ${\displaystyle s=i\omega \ \ ou\ \ s=2\pi fi}$^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$

A definição de Fourier requer o prefixo ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi }$ na função reversa da transformada de fourier. Esta relação entre as transformadas de Fourier e Laplace e comumente usada para determinar o espectro de frequência de um sinal ou de um sistema dinâmico. A relação acima é válida somente se a região de convergência de F(s) contem o eixo imaginário, ${\displaystyle \sigma =0}$.

A propriedade que define a integral da transformada de Laplace apresenta-se como:$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F({\widehat {s}})\operatorname {d} \!{\widehat {s}}}$$Esta pode ser demonstrada ao aplicar-se a integração à definição fundamental da transformada de Laplace:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{s}^{\infty }F(v)\,dv&=\int _{s}^{\infty }{\biggl (}\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-vt}dt{\biggr )}dv\\\int _{s}^{\infty }F(v)\,dv&=\int _{s}^{\infty }f(t){\biggl (}\int _{0}^{\infty }e^{-vt}dv{\biggr )}dt\\\int _{s}^{\infty }F(v)\,dv&=\int _{s}^{\infty }f(t)\left[{\frac {e^{-vt}}{-t}}\right]_{s}^{\infty }dt\\\int _{s}^{\infty }F(v)\,dv&=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}dt\\\int _{s}^{\infty }F(v)\,dv&={\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}\end{aligned}}}$$

A tabela provê as transformadas de Laplace para as funções mais comuns de uma variável.^[4][5] Para definições e exemplos, veja a nota explanatória no fim da tabela.

Porque a transformada de Laplace é um operador linear:

${\displaystyle \rightarrow }$ A transformada de Laplace de uma soma é a soma das transformadas de Laplace de cada termo.

${\displaystyle \rightarrow }$ A transformada de Laplace de um múltiplo de uma função é o múltiplo vezes a transformada de Laplace da função.$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {L}}\{\mu \ f(t)+\kappa \ g(t)\}=\mu \ {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\kappa \ {\mathcal {L}}\{g(t)\}\\&\mu \neq \mu (t)\\&\kappa \neq \kappa (t)\end{aligned}}}$$

Função	Domínio de tempo ${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}}$	Laplace s-domínio ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}$	Região de Convergência	Referência
impulso unitário	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1}$	todo s	inspeção
impulso atrasado	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$		mudança de tempo do impulso unitário
Degrau Unitário	${\displaystyle u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s}}$	Re(s) > 0	integral do impulso unitário
Função Constante	${\displaystyle k\cdot u(t)}$	${\displaystyle k/s}$	Re(s) > 0	Convolução
Degrau atrasado	${\displaystyle u(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{-\tau s}}$	Re(s) > 0	mudança de tempo do passo único
Função Rampa	${\displaystyle t\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	Re(s) > 0	integral do impulso unitário duas vezes
n-ésima potência ( para n inteiro)	${\displaystyle t^{n}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {n! \over s^{n+1}}}$	Re(s) > 0 (n > −1)	Integral do passo único n vezes
q-ésima potência (para q complexo)	${\displaystyle t^{q}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\Gamma (q+1) \over s^{q+1}}}$	Re(s) > 0 Re(q) > −1	[6][7]
${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\Gamma \left({\frac {1}{n}}+1\right)}$	Re(s) > 0	Deixe q = 1/n acima.
n-ésima potência com mudança de frequência	${\displaystyle t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	Re(s) > −α	Integral do passo único aplique a mudança de frequência
n-ésima potência atrasada com mudança de frequência	${\displaystyle (t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	Re(s) > −α	Integral do passo único, aplique a mudança de frequência, aplique a mudança de tempo
Decaimento exponencial	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s+\alpha }}$	Re(s) > −α	Mudança de frequência do passo único
Decaimento exponencial bilateral	${\displaystyle e^{-\alpha |t|}\ }$	${\displaystyle {2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}}$	−α < Re(s) < α	Mudança de frequência do passo único
Exponencial genérica	${\displaystyle a^{t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle 1/(s-ln(a))}$	Re(s) > ln(a)	Adaptação da transformada do decaimento exponencial
aproximação exponencial	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	Re(s) > 0	passo único menos decaimento exponencial
Seno	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	Re(s) > 0	Bracewell 1978, p. 227
Cosseno	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	Re(s) > 0	Bracewell 1978, p. 227
Seno hiperbólico	${\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	Re(s) > |α|	Williams 1973, p. 88
Cosseno hiperbólico	${\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	Re(s) > |α|	Williams 1973, p. 88
decaimento exponencial onda senoidal	${\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	Re(s) > −α	Bracewell 1978, p. 227
decaimento exponencial onda cossenoidal	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	Re(s) > −α	Bracewell 1978, p. 227
Logaritmo natural	${\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]}$	Re(s) > 0	Williams 1973, p. 88
Nota explicatória: u(t) representa a Função de Heaviside. ${\displaystyle \delta (t)\,}$ representa a Delta de Dirac. Γ(z) representa a Função gama. γ é a Constante de Euler-Mascheroni. t, um número real, tipicamente representa tempo, embora possa representar qualquer dimensão independente. s é a Frequência angular complexa, e Re(s) é sua parte real. α, β, τ, e ω são números reais. n é um Número inteiro.

Usando a propriedade da linearidade e as relações/identidades trigonométricas, hiperbólicas e complexas, algumas transformadas de Laplace podem ser obtidas de outras mais rápida do que diretamente pela definição.

A unilateralidade da transformada de Laplace toma como entrada uma função cujo ${\displaystyle {\text{dom}}\ f(t)=\mathbb {R} -\{(-\infty ,\ 0)\}}$. Este é o motivo de todas as funções no domínio de tempo na tabela abaixo serem múltiplas da função de Heaviside, ${\displaystyle u(t-a)}$. As entradas desta tabela que envolvem um tempo de atraso ${\displaystyle a}$ são obrigadas a serem causais. Um sistema causal é um sistema em que a resposta ao impulso ${\displaystyle u(t-a)}$ é nulo para todo tempo ${\displaystyle t}$ prévio a ${\displaystyle u(0)}$.

Pela lei de Ohm, o resistor é dado pela equação

${\displaystyle v=R*i}$

Como R é uma constante, a transformada de Laplace desta equação é

${\displaystyle V=RI}$

em que

${\displaystyle V={\mathcal {L}}\left\{v\right\}}$ e ${\displaystyle I={\mathcal {L}}\left\{i\right\}}$

A equação no domínio do tempo que relaciona a tensão terminal com a corrente terminal é

${\displaystyle v=L*{\frac {di}{dt}}}$

A transformada de Laplace desta equação é

${\displaystyle V=L\left[sI-i\left(0^{-}\right)\right]=sLI-LI_{0}}$

Sendo assim, a corrente no indutor é

${\displaystyle I={\frac {V+LI_{0}}{sL}}={\frac {V}{sL}}+{\frac {I_{0}}{s}}}$

A corrente terminal em um capacitor inicialmente carregado até ${\displaystyle V_{0}}$ volts é

${\displaystyle i=C{\frac {dv}{dt}}}$

A transformada de Laplace desta equação é

${\displaystyle I=C\left[sV-v\left(0^{-}\right)\right]}$ ou ${\displaystyle I=sCV-CV_{0}}$

Seja um sistema massa mola de equação ${\displaystyle m}$${\displaystyle x''(t)}$ = ${\displaystyle -k}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle -\gamma }$${\displaystyle x'(t)}$${\displaystyle +f(t)}$ , onde ${\displaystyle m}$ é a massa, ${\displaystyle k}$ é a constante de hooke para a mola e ${\displaystyle \gamma }$ é a constante de atrito.

Os valores iniciais são:

${\displaystyle x(0)}$ = posição inicial

${\displaystyle x'(0)}$ = velocidade inicial

Usando a propriedade da Transformada de Laplace de uma derivada temos:

${\displaystyle m}$${\displaystyle {\Big [}}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle X(s)}$-${\displaystyle sx(0)}$ - ${\displaystyle x'(0)}$${\displaystyle {\Big ]}}$ + ${\displaystyle kX(s)}$ + ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\Big [}}$ ${\displaystyle sX(s)}$ - ${\displaystyle x(0)}$${\displaystyle {\Big ]}}$=${\displaystyle F(s)}$.

Agora, isolando ${\displaystyle X(s)}$ e supondo o termo forçante ${\displaystyle F(s)}$ = 0, tem-se:

${\displaystyle X(s)}$= ${\displaystyle {\frac {msx(0)+mx'(0)+\gamma x(0)}{ms^{2}+\gamma s+k}}}$

A solução do problema pode ser representado por ${\displaystyle x(t)}$= ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{X(s)\}}$

O sistema massa mola pode ser dividido em cinco situações:

i) Oscilador harmônico forçado: Quando há força externa: ${\displaystyle f(t)\not \equiv 0}$

ii) Oscilador harmônico livre: Quando não há força externa: ${\displaystyle f(t)\equiv 0}$

iii) Subarmotecido livre: Quando ${\displaystyle \Delta =\gamma ^{2}-4mk<0}$

iv) Superamortecido livre (${\displaystyle f(t)=0}$): ${\displaystyle \Delta =\gamma ^{2}-4mk>0}$

v) Criticamente amortecido livre : ${\displaystyle \Delta =\gamma ^{2}-4mk=0}$

Temos ${\displaystyle J_{0}(t)}$ a Função de Bessel de ordem zero dada por:

$${\displaystyle J_{0}(at)=1-\left({\frac {at}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{(2!)^{2}}}\left({\frac {at}{2}}\right)^{4}-{\frac {1}{(3!)^{2}}}\left({\frac {at}{2}}\right)^{6}+...}$$

Calculando a transformada, temos: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}={\mathcal {L}}\left\{1\right\}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}{\mathcal {L}}\left\{t^{2}\right\}+{\frac {1}{(2!)^{2}}}\left({\frac {a}{2}}\right)^{4}{\mathcal {L}}\left\{t^{4}\right\}-{\frac {1}{(3!)^{2}}}\left({\frac {a}{2}}\right)^{6}{\mathcal {L}}\left\{t^{6}\right\}+...}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}={\frac {1}{s}}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}{\frac {2!}{s^{3}}}+{\frac {1}{(2!)^{2}}}\left({\frac {a}{2}}\right)^{4}{\frac {4!}{s^{5}}}-{\frac {1}{(3!)^{2}}}\left({\frac {a}{2}}\right)^{6}{\frac {6!}{s^{7}}}+...}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}{=}{\frac {1}{s}}\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{s}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{2!}}\left({\frac {a}{s}}\right)^{4}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {1}{3!}}\left({\frac {a}{s}}\right)^{6}+...\right]}$$

Logo, $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J_{0}(at)\right\}={\frac {1}{s}}\left(1+\left({\frac {a}{s}}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$$

Podemos também demonstrar a transformada de uma função t(k) que leva à Função gama ${\displaystyle \Gamma }$. Para k>0, temos que:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{t^{k-1}\right\}={\frac {\Gamma (k)}{s^{k}}}}$$

Onde: $${\displaystyle \Gamma (k)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{k-1}dx}$$

Aplicando a Transformada de Laplace, temos:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{t^{k-1}\right\}=\int _{0}^{\infty }t^{k-1}e^{-st}dx}$$

Obtemos com a seguinte mudança de variáveis ${\displaystyle x=st}$ :

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{t^{k-1}\right\}=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{k-1}}{s^{k-1}}}e^{-x}{\frac {dx}{s}}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{t^{k-1}\right\}={\frac {1}{s^{k}}}\int _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{t^{k-1}\right\}={\frac {\Gamma (k)}{s^{k}}}}$$

Artigo principal: Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais

As diversas propriedades da transformada de Laplace possibilitam a transformação de um grande número de equações diferenciais ordinárias em simples equações algébricas lineares. Alguns tipos mais comuns de equações diferenciais são: ${\displaystyle \circ }$ Equação diferencial ordinária com coeficientes constantes

Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes

Exemplo: $${\displaystyle \pi {\ddot {y}}-e{\dot {y}}+y=\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-n\varphi )}$$ ${\displaystyle \circ }$ Equação diferencial ordinária com coeficientes não constantes

Artigo principal: Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis

Exemplo: $${\displaystyle t{\ddot {y}}+{\dot {y}}+{\frac {y}{\ln t}}=\sum _{\digamma =6}^{317}u{\Bigl (}t-{\frac {22}{7\digamma }}{\Bigr )}}$$ ${\displaystyle \circ }$ Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes

Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias

Exemplo: $${\displaystyle {\begin{cases}2{\dot {x}}-7x=z\\{\frac {21}{4}}{\ddot {y}}-9{\dot {y}}-{\frac {y}{\pi }}=\int _{0}^{t}\cosh(\tau )\tan(t-\tau )\operatorname {d} \!\tau \\(e\ \pi )^{-1}{\ddot {z}}+e^{-23}{\dot {z}}={\dot {y}}-391{\dot {x}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \circ }$ Sistema linear de equações diferenciais ordinárias com coeficientes não constantes

Artigo principal: Sistema linear de equações diferenciais ordinárias

Exemplo: $${\displaystyle {\begin{cases}e^{-t}{\ddot {x}}+t^{-1}{\dot {x}}-tx=0\\\pi ^{t}*t\ {\dot {y}}+\gamma ^{-0,73t}y=0\\{\ddot {z}}+3{\dot {z}}+211z=tz\end{cases}}}$$

Em muitas ocasiões são necessários valores iniciais para uma resolução numérica dessas equações diferenciais.

A aplicação da Transformação de Laplace para resolução de circuitos RL e RC é uma ferramenta interessante na resolução das equações diferenciais que expressam circuitos RC e RL, pois em determinados casos reduz a quantidade de análises e simplificações inerentes à resolução de circuitos baseado na Teoria de Circuitos. A exemplo do caso abaixo:

Considerando o circuito RL com duas malhas ao lado: