Ultrafiltro – Wikipédia, a enciclopédia livre

Em matemática, especialmente na Teoria da ordem e na Teoria de conjuntos, um ultrafiltro é um filtro próprio maximal, ou seja, um filtro próprio que não está estritamente contido num outro filtro próprio. Ultrafiltros têm aplicações em topologia, teoria de modelos e outras áreas da matemática.

Em teoria de conjuntos, seja ${\displaystyle A^{\,}}$ um conjunto não vazio e ${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(A^{\,}\right)}$ o conjunto de partes de ${\displaystyle A^{\,}}$. Um ultrafiltro ${\displaystyle F\subseteq A}$ tem as seguintes propriedades^[1]:

${\displaystyle \mathbf {1.} {\mbox{ Se }}x\in F{\mbox{ e }}x\subseteq y{\mbox{, então }}y\in F{\mbox{ para }}x,y\in {\mathcal {P}}\left(A^{\,}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {2.} {\mbox{ Se }}x,y\in F{\mbox{, então }}x\cap y\in F}$

Ou seja, ${\displaystyle F}$ é um filtro. Além disso, ${\displaystyle F}$ é próprio:

${\displaystyle \mathbf {3.} \;\;F\neq {\mathcal {P}}\left(A^{\,}\right)}$

Ou, equivalentemente:

${\displaystyle \mathbf {3^{*}.} \;\;\varnothing \not \in F}$

Por último, ${\displaystyle F}$ é maximal:

${\displaystyle \mathbf {4.} {\mbox{ Não existe filtro próprio }}G{\mbox{ tal que }}F\subseteq G{\mbox{ e }}F\neq G}$

Equivalentemente, em teoria da ordem ultrafiltros são filtros maximais. Ultrafiltros tem particular importância em reticulados e Álgebra de Boole. Dado um reticulado ${\displaystyle \left\langle L,\leq \right\rangle }$ um ultrafiltro ${\displaystyle F^{\,}}$ é um conjunto não vazio, estritamente contido em ${\displaystyle L^{\,}}$, definido por^[2]:

${\displaystyle \mathbf {1.} {\mbox{ Se }}x\in F{\mbox{ e }}x\leq y{\mbox{, então }}y\in F{\mbox{, para }}x,y\in L^{\,}}$

${\displaystyle \mathbf {2.} {\mbox{ Se }}x,y\in F{\mbox{, então }}x\wedge y\in F{\mbox{, para }}x,y\in L^{\,}}$

${\displaystyle \mathbf {3.} {\mbox{ Não existe filtro próprio }}G{\mbox{ tal que }}F\subseteq G{\mbox{ e }}F\neq G}$

Numa álgebra de Boole com máximo ${\displaystyle 1\!{\mbox{I}}}$ e mínimo ${\displaystyle \mathbb {O} }$, às condições anteriores são acrescentadas:

${\displaystyle \mathbf {4.} \;\;\mathbb {O} \not \in F{\mbox{ (é filtro próprio)}}}$

${\displaystyle \mathbf {5.} \;\;1\!{\mbox{I}}\in F{\mbox{ (é não vazio)}}}$

Em álgebras de Boole, ultrafiltro é o conceito dual do ideal maximal.

Em uma álgebra de Boole ${\displaystyle \left\langle B,\wedge ,\vee ,-,\mathbb {O} ,1\!\,\!{\mbox{I}}\right\rangle }$ um filtro ${\displaystyle F^{\,}}$ e denominado primo se satisfaz^[3]:

• ${\displaystyle {\mbox{ Se }}x\vee y\in F{\mbox{, então }}x\in F{\mbox{ ou }}y\in F{\mbox{, para }}x,y\in B^{\,}}$

Como ${\displaystyle 1\!{\mbox{I}}\in F}$ pela condição 5, para cada ${\displaystyle x\in B^{\,}}$ temos que ${\displaystyle x\vee -x\in F}$, de modo que a condição acima é equivalente a:

• ${\displaystyle x\in F{\mbox{ ou }}-x\in F{\mbox{, para }}x\in B^{\,}}$^[4]

Além disso, pode ser demonstrado que em toda álgebra de Boole um filtro ${\displaystyle F^{\,}}$ é primo se e somente se ${\displaystyle F^{\,}}$ é um ultrafiltro,^[5] ou seja, as noções de filtro primo e ultrafiltro são equivalentes em álgebras de Boole e por isso alguns autores definem ultrafiltro não como um filtro maximal, mas como um filtro primo.^[6]

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel com axioma da escolha, ZFC pode ser demonstrado o Teorema do ultrafiltro, cujo enunciado habitual é: "Todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro",^[7] que abreviaremos TU. Ou seja, dada uma álgebra de Boole ${\displaystyle \left\langle B,\wedge ,\vee ,-,\mathbb {O} ,1\!\,\!{\mbox{I}}\right\rangle }$ e um filtro ${\displaystyle \;\;F\subseteq B}$, existe um ultrafiltro ${\displaystyle \;\;U\!\subseteq B}$ tal que ${\displaystyle F\subseteq U}$. Devido à dualidade das álgebras de Boole TU é equivalente ao Teorema do ideal primo: "todo ideal numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ideal primo".^[8] Em ZF (sem o Axioma da escolha, AE) TU não pode ser demonstrado, se ZF é consistente. Entretanto, TU é estritamente mais fraco que AE em ZF:

${\displaystyle {\mathit {ZF+TU}}\nvdash {\mathit {AE}},{\mbox{ se }}{\mathit {ZF}}{\mbox{ é consistente}}}$^[9]

Em álgebras de Boole, TU é equivalente a "toda álgebra de Boole contém um ultrafiltro".

Referências

• BURRIS, S.; SANKAPPANAVAR, H.P (1981). A course in universal algebra (em inglês). New York: Springer 

• COMFORT, W.W.; NEGREPONTIS, S (1974). The theory of ultrafilters (em inglês). New York: Springer 

• DRAKE, Frank R (1974). Set theory: An introduction to large cardinals (em inglês). Amsterdam: North-Holland 

• HALPERN, J.D.; LEVY, A (1971). «The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice». Proceedings of the Symposium in Pure Mathenatics 1967. Volume XIII. Part I: 83−134 

• KOPPELBERG, Sabine (1989). General Theory of Boolean Algebras (em inglês). Amsterdam: North-Holland . Volume I de MONK BONNET (1989).

• LAWSON, M.V (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789810233167 

• LEVY, Azriel (2002). Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover 

• MONK, J.D (2004). «A brief introduction to Boolean algebras» (em inglês). Consultado em 3 de março de 2012 

• MONK, J. Donald; BONNET, Robert (1989). Handbook of Boolean Algebras (em inglês). Amsterdam: North-Holland 

• POGORZELSKI, W.; WOJTYLAK, P (2008). Completeness theory for propositional logics (em inglês). Basel: Birkhäuser 

• SIKORSKI, Roman (1969). Boolean Algebras (em inglês). Heildelberg: Springer Verlag 

• STANLEY, R.P (2002). Enumerative combinatorics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521663519 

• Filtro (teoria dos conjuntos)
• Ideal (teoria dos anéis)
• Ideal (teoria dos conjuntos)