În analiza matematică, derivata direcțională permite evaluarea variației locale a unei funcții de mai multe variabile într-un punct dat și după o anumită direcție. Reprezintă o generalizare a noțiunii de derivată parțială și un caz particular al diferențialei Gâteaux.
Definiție. Fie
o funcție reală, diferențiabilă de două variabile și vectorul unitar
Dacă următoarea limită există și este finită:
![{\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)}{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545da50b698c7b615014f8fd971a1aee1ba0492b)
atunci aceasta se numește derivata după direcția vectorului unității
în punctul
și se notează cu
![{\displaystyle D_{\mathbf {u} }\;f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)}{t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85eba7bd69cf78bb0c8a9c237d7fad0f9aa5f71)
Alte notații echivalente utilizate sunt
sau
Observație: Derivatele parțiale sunt cazuri particulare de derivare după o direcție dată. Astfel dacă de exemplu
obținem derivata parțială după direcția axei
![{\displaystyle D_{\mathbf {i} }f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+t,y)-f(x,y)}{t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee950fe5150b9571357b5d8afdcff0c65ad36e9)
Observație: Presupunând că există o dezvoltare în serie Taylor pentru
în jurul lui
și efectuând limita, se deduce că derivata după o direcție se calculează astfel:
![{\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(x,y)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+ta,y+tb)-f(x,y)}{t}}=a{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)+b{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77c0312e3fce7c9ef1a6527166441052e5e54ae)
sau, utilizând notația:
![{\displaystyle D_{u}f(x,y)=af_{,x}(x,y)+bf_{,y}(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c2770f83cc0817f5a97894af930a5b5e044493)
Dar gradientul unui câmp scalar într-un spațiu bidimensional este:
![{\displaystyle grad\;f=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb825ed8e7ef3cdffb63afc687c7baab536cf3d1)
Relația dintre derivata după direcția
și vectorul gradient este:
![{\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \mathbf {u} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338476ee62a69964e1829794dd341db2bc9b2671)
Se consideră câmpul vectorial:
și se cere determinarea lui
în direcția
în punctul
Rezolvare. Derivatele parțiale sunt:
![{\displaystyle f_{,x}=-2x,\;f_{,y}=-{\frac {1}{2}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd52cafa6366313c43106bf0c740cb58227fad8c)
Derivata după o direcție este:
![{\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(x,y)=f_{x}(x,y)\cos \theta +f_{y}(x,y)\sin \theta =(-2x)\cos {\frac {\pi }{3}}+\left(-{\frac {1}{2}}y\right)\sin {\frac {\pi }{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7d355448319b7a9be4676183c22cda7ebc36db)
iar în punctul
![{\displaystyle D_{\mathbf {u} }f(1,2)=(-2)\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)+(-1)\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)=(-2)\left({\frac {1}{2}}\right)+(-1)\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=-1-{\frac {\sqrt {3}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf2d60d600f7d37ed07085135e5b485b5aa336a)