Determinant (matematică)

Determinantul este, în algebră, o funcție care atribuie oricărei matrici pătrate un număr.

Fie matricea de tip 2×2: ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

determinantul acesteia este:

${\displaystyle \det(A)=ad-bc\ }$

Determinantul vectorilor X și X' este dat de expresia analitică:

${\displaystyle \det(X,X')={\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}=xy'-yx'}$

ceea ce este echivalent cu expresia geometrică:

${\displaystyle \det(X,X')=\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \sin \theta }$

unde ${\displaystyle \theta }$ este unghiul orientat format de vectorii X și X '.

Fie matricea de tip 3×3:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}$

Dezvoltând după prima linie, obținem: ${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg\\&=(aei+bfg+cdh)-(gec+hfa+idb),\end{aligned}}}$

Dacă X(a,b,c), Y(d,e,f), Z(g,h,i) sunt trei vectori orientați, atunci volumul paralelipipedului determinat de aceștia este:

${\displaystyle \det(X,Y,Z)={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$.

Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.

1. Determinantul unei matrice ${\displaystyle \mathrm {A} }$ este egal cu determinantul matricei transpuse ${\displaystyle {}^{t}\!A:det(A)=det({}^{t}\!A)}$.
2. Dacă într-o matrice pătratică se schimbă între ele două linii (sau coloane) se obține o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
3. Dacă elementele unei linii (sau coloane) a matricei ${\displaystyle \mathrm {A} }$ se înmulțesc cu un număr ${\displaystyle {\mbox{k}}}$, se obține o matrice ${\displaystyle \mathrm {C} }$ al cărei determinant este egal cu ${\displaystyle k*det(A)}$.
4. Dacă elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice pătratică sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.
5. Dacă o matrice are două linii (coloane) identice, atunci determinantul ei este nul.
   Consecință:
   Fie ${\displaystyle d=|a_{i,j}|_{n}}$ un determinant de ordinul ${\displaystyle {\mbox{n}}}$. Pentru orice ${\displaystyle i\neq \;j}$ au loc egalitățile:
   1. ${\displaystyle a_{i1}\delta _{j1}+a_{i2}\delta _{j2}+...+a_{in}\delta _{jn}=0}$
   2. ${\displaystyle a_{1j}\delta _{1i}+a_{2j}\delta _{2i}+...+a_{nj}\delta _{ni}=0}$

• Spațiu vectorial
• Bază algebrică
• Procedeul Gram-Schmidt
• Teorema lui Laplace
• Transformări elementare ale matricilor

• Ion, I. D. - Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
• Iacob, C. - Curs de matematici superioare, București, 1957
• Henri Cartan, Cours de calcul différentiel, Paris, Hermann, 1977

• en Sisteme liniare
• en Online Matrix Calculator
• ro Tutorial video dezvoltarea determinanților după linie pe YouTube
• ro Tutorial video dezvoltarea determinanților după coloană pe YouTube