Funcție continuă

În analiza matematică, o funcție se numește continuă într-un punct al graficului dacă o modificare mică a argumentului în jurul punctului dat produce o modificare mică a imaginii funcției și, mai mult, se poate limita oricât de mult variația valorii funcției prin limitarea variației argumentului. O funcție care este continuă în fiecare punct al domeniului de definiție se numește simplu funcție continuă.

Păstrând limbajul intuitiv, o funcție este continuă dacă graficul acesteia nu are întreruperi sau "rupturi". Dacă o modificare mică a argumentului poate produce un salt (o ruptură) în graficul funcției,se zice că funcția este discontinuă, sau că are una sau mai multe discontinuități.

Continuitatea este o noțiune clarificată la începutul secolului al XIX-lea prin contribuțiile lui Cauchy^[1].

Dacă ${\displaystyle f:X\to Y}$, unde X și Y sunt submulțimi ale unor spații metrice (de exemplu, ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$), funcția f se numește continuă în punctul ${\displaystyle x_{0}\in X}$ dacă pentru orice valoare ${\displaystyle \varepsilon \in (0,\infty )}$ există un ${\displaystyle \delta _{\varepsilon }\in (0,\infty )}$ astfel încât ${\displaystyle \forall x\in X\{x_{0}\}\,,\ d_{X}(x,x_{0})<\delta _{\varepsilon }}$, să aibă loc ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon }$, unde ${\displaystyle d_{X}}$ reprezintă distanța din spațiul metric X, iar ${\displaystyle d_{Y}}$ reprezintă distanța din spațiul metric Y.

Echivalent, f este continuă într-un punct de acumulare ${\displaystyle x_{0}}$ dacă ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$ (f este continuă într-un punct dacă limita sa în acel punct (de acumulare) există și este egală cu valoarea funcției în acel punct).

Nu se poate formula continuitatea unei funcții într-un punct în care funcția nu este definită; dar într-un punct din domeniul său de definiție ce nu este punct de acumulare al domeniului său de definiție (adică un punct izolat), orice funcție este continuă.

O funcție se numește discontinuă într-un punct dacă nu este continuă în acel punct. Un punct în care funcția nu este continuă se numește discontinuitate a funcției.

O discontinuitate poate exista fie pentru că funcția are un "salt" (limita funcției sau cel puțin una din limitele laterale există, dar este diferită de valoarea funcției) - o astfel de discontinuitate se numește de primă speță, fie pentru că funcția nu are limită în acel punct -- discontinuitate de speța a doua.

Exemple:

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,,\ f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}0&,&x\leq 0\\1&,&x>0\end{array}}\right.}$

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de prima speță.

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \,,\ f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}0&,&x=0\\\sin {\frac {1}{x}}&,&x\neq 0\end{array}}\right.}$

este continuă în toate punctele cu excepția lui 0 unde are o discontinuitate de speța a doua. De notat că această funcție este un exemplu de funcție Darboux care nu este continuă.

Definiția 1. Fief o funcție definită pe ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ și ${\displaystyle x_{0}\in E.}$ Se spune că funcția f este continuă în punctul ${\displaystyle x_{0}}$ dacă pentru orice ${\displaystyle \epsilon >0,\;(\exists )\delta (\epsilon )>0,}$ astfel încât oricare ar fi ${\displaystyle x\in E}$ cu proprietatea ${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta (\epsilon ),}$ se respectă relația:   ${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon .}$

Definiția 2 Se spune că funcția ${\displaystyle f:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ este continuă în punctul ${\displaystyle x_{0}\in E}$ dacă pentru orice șir ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ convergent către ${\displaystyle x_{0},}$ șirul valorilor funcției ${\displaystyle \{f(x)\}_{n\in \mathbb {N} }}$ converge către ${\displaystyle f(x_{0}).}$

Definiția 3. Spunem că funcția f definită pe o vecinătate a punctului ${\displaystyle x_{0}}$ este continuă în ${\displaystyle x_{0}}$ dacă f are limita în punctul ${\displaystyle x_{0}\in E}$ și dacă această limită este egală cu ${\displaystyle f(x_{0}).}$

• Limită a unei funcții
• Derivată

• Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.