Singularitate izolată

În analiza complexă o singularitate izolată^[1][2] este una care nu are altă singularități apropiate. Cu alte cuvinte, un număr complex z₀ este o singularitate izolată a unei funcții f dacă există un disc deschis D cu centrul în z₀ astfel încât f este olomorfă pe D \ {z₀}, adică pe mulțimea obținută din D fără z₀.

Formal, din punct de vedere al topologiei generale^⁠(d), o singularitate izolată a unei funcții olomorfe ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ este orice punct izolat al frontierei ${\displaystyle \partial \Omega }$ a domeniului ${\displaystyle \Omega }$. Cu alte cuvinte, dacă ${\displaystyle U}$ este o submulțime deschisă a ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle a\in U}$ și ${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$ este o funcție olomorfă, atunci ${\displaystyle a}$ este o singularitate izolată a lui ${\displaystyle f}$.

Orice singularitate a unei funcții meromorfe pe o submulțime deschisă ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ este izolată, dar izolarea singularităților nu este suficientă pentru a garanta că o funcție este meromorfă. Multe instrumente importante de analiză complexă, cum ar fi seriile Laurent^⁠(d) și teorema reziduurilor^⁠(d) necesită ca toate singularitățile relevante ale funcției să fie singularități izolate. Există trei tipuri de singularități izolate: singularități eliminabile, poli și singularități esențiale.

• Funcția ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$ are 0 ca singularitate izolată.
• Funcția cosecantă ${\displaystyle \csc \left(\pi z\right)}$ are orice întreg ca singularitate izolată.

În afară de singularitățile izolate, funcțiile complexe de o variabilă pot prezenta un alt comportament singular. Și anume, există două tipuri de singularități neizolate:

• Puncte de acumulare ale singularităților izolate: dacă toate sunt poli, deși toate admit dezvoltări în serie Laurent, o astfel de dezvoltare nu este posibilă la limita sa.
• Frontiere naturale, adică orice mulțime neizolată (de exemplu o curbă) în jurul căreia funcțiile nu pot fi continue analitic (sau în afara lor dacă sunt curbe închise din sfera Riemann).

• Funcția ${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ este meromorfă pe ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$, cu poli simpli în ${\textstyle z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)^{-1}}$, pentru orice ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$. Deoarece ${\displaystyle z_{n}\rightarrow 0}$, orice disc perforat cu centrul în ${\displaystyle 0}$ are un număr infinit de singularități, deci nu este disponibilă nicio dezoltare Laurent pentru ${\textstyle \ tan\left({\frac {1}{z}}\right)}$ în jurul lui ${\displaystyle 0}$, care este de fapt un punct de acumulare al polilor săi.
• Funcția ${\textstyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$ are o singularitate în 0 care este nu este una izolată, deoarece există singularități la inversele oricărui întreg, care sunt situate arbitrar de aproape de 0 (deși singularitățile acestor inverse sunt ele însele izolate).
• Funcția definită prin seria Maclaurin ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ converge în interiorul discului unitate deschis centrat în ${\displaystyle 0}$ și are cercul unitate ca frontieră naturală.

• en Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
• en Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).

Portal Matematică

• en Eric W. Weisstein, Singularity la MathWorld.