Subspațiu ortogonal

În algebra liniară, pentru un subspațiu W al unui spațiu vectorial V, se numește subspațiu ortogonal (sau complement ortogonal) al acestuia, o mulțime W^⊥ care posedă proprietatea că orice vector al acesteia este ortogonal pe orice vector din W.

Pentru a demonstra că un vector este ortogonal pe un subspațiu vectorial, este suficient să se demonstreze că acesta este ortogonal pe vectorii unei baze a subspațiului.

Propoziție. Fie W un subspațiu vectorial al spațiului vectorial V, ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}}$ o bază a lui W și x un vector oarecare din V. Atunci:

${\displaystyle x\perp W\;\Leftrightarrow \;x\perp e_{j},\;\forall j=1,2,\cdots ,m.}$

Demonstrație.

• Faptul că ${\displaystyle x\perp W\;\Rightarrow \;x\perp e_{j},\;\forall j=1,2,\cdots ,n}$ este evident deoarece din ${\displaystyle x\perp W}$ rezultă ${\displaystyle x\perp e_{j},\;\forall j=1,2,\cdots ,n\;}$ căci ${\displaystyle e_{j}\in W.}$
• Pentru a demonstra implicația inversă, se va presupune că ${\displaystyle x\perp e_{j},\;\forall j=1,2,\cdots ,n.\;}$ Trebuie demonstrat că ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0,\;}$ oricare ar fi vectorul ${\displaystyle y\in W.}$ Cum orice vector ${\displaystyle y\in W}$ se scrie în baza B sub forma ${\displaystyle y=\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j},\;}$ se obține ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle x,\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\rangle =\sum _{j=1}^{n}y_{j}\cdot \langle x,e_{j}\rangle =0.}$

Teoremă. Fie V un spațiu euclidian și W un subspațiu finit dimensional al acestuia. Atunci ${\displaystyle V=W\oplus W^{\perp }.}$

Demonstrație. Se arată că orice vector ${\displaystyle x\in V}$ se scrie în mod unic sub forma ${\displaystyle x=u+w\;}$ cu ${\displaystyle \;w\in W\;}$ și ${\displaystyle u\in W^{\perp }.\;}$ Subspațiul W fiind finit dimensional, se notează cu n dimensiunea sa și se consideră o bază ortonormată ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}\;}$ a lui W.

Fie x un vector oarecare din V. Vectorul w definit prin:

${\displaystyle w=\langle x,e_{1}\rangle \cdot e_{1}+\langle x,e_{2}\rangle \cdot e_{2}+\cdots +\langle x,e_{n}\rangle \cdot e_{n}+}$

aparține subspațiului W.

Se notează ${\displaystyle u=x-w}$ și se demonstrează că ${\displaystyle u\in W^{\perp }.}$ În baza propoziției anterioare, este suficient să se demonstreze că ${\displaystyle u\perp e_{j},\;j=1,2,\cdots ,n.}$

${\displaystyle \langle u,e_{j}\rangle =\langle x-w,\;e_{j}\rangle =\langle x,e_{j}\rangle -\langle x,e_{1}\rangle \cdot \langle e_{1},e_{j}\rangle -\langle x,e_{2}\rangle \cdot \langle e_{2},e_{j}\rangle -\cdots }$

${\displaystyle \cdots -\langle x,e_{n}\rangle \cdot \langle e_{n},e_{j}\rangle =\langle x,e_{j}\rangle -\langle x,e_{j}\rangle =0\;\Rightarrow \;u\in W^{\perp }.}$

Deci ${\displaystyle x=w+u\;}$   cu   ${\displaystyle \;w\in W}$   și   ${\displaystyle u\in W^{\perp }\;\Rightarrow \;V=W+W^{\perp }.}$

Pentru a demonstra că e suma directă, se arată că   ${\displaystyle W\cap W^{\perp }=\{0\}.}$

Fie   ${\displaystyle x\in W\cap W^{\perp },\;\;\langle x,x\rangle =0\;\Rightarrow \;x=0\;\Rightarrow \;W\cap W^{\perp }=\{0\}.}$

Corolar. Dacă V este un subspațiu euclidian finit dimensional, atunci orice W subspațiu vectorial al lui V, atunci are loc descompunerea   ${\displaystyle V=W\oplus W^{\perp }.}$

• În ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}:}$   ${\displaystyle W=\{(x,0)|\;x\in \mathbb {R} \},\;W^{\perp }=\{(0,y)|\;y\in \mathbb {R} \},\;\mathbb {R} ^{2}=W\oplus W^{\perp }.}$
• În ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}:}$   ${\displaystyle W=\{(x,y,0)|\;x,y\in \mathbb {R} \},\;W^{\perp }=\{(0,0,z)|\;z\in \mathbb {R} \},\;\mathbb {R} ^{3}=W\oplus W^{\perp }.}$

• Bază ortonormată