А́белев дифференциа́л — голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности
.
Пусть
— род поверхности
— циклы канонического базиса гомологий
. В зависимости от характера особенностей различают Абелев дифференциал трёх родов: I, II и III, причём имеют место строгие включения:
.
Абелев дифференциал I рода — это голоморфные всюду на
дифференциалы 1-го порядка, которые в окрестности
каждой точки
имеют вид
, где
— локальная униформизирующая переменная в
,
, а
— голоморфная, или регулярная, аналитическая функция от
в
. Сложение абелева дифференциала и умножение на голоморфную функцию определяется естественными правилами: если
![{\displaystyle \omega =p\,dz,\ \pi =q\,dz,\ a=a(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb125eda7ac9a52892e09c759b6a8c5753741c7)
то
![{\displaystyle \omega +\pi =(p+q)\,dz,\ a\omega =(ap)\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b516bffbf00716139f8a2d19ee65288912e4fcad)
Абелев дифференциал I рода образуют векторное пространство
размерности
. После введения скалярного произведения
,
где
— внешнее произведение
на звёздно-сопряжённый дифференциал
, пространство
превращается в гильбертово пространство.
Пусть
суть
- и
-периоды абелева дифференциала I рода
, то есть интегралы
![{\displaystyle A_{j}=\int _{a_{j}}\omega ,\ B_{j}=\int _{b_{j}}\omega ,\ j=1,2,\ldots ,g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de60fad4de7030b37407af778a84470c06ac465)
Тогда имеет место соотношение
| (1) |
Если
— периоды другого абелева дифференциала Iрода
, то
| (2) |
Соотношения (1) и (2) называются билинейными соотношениями Римана для абелевых дифференциалов I рода. Канонический базис абелева дифференциала I рода, то есть канонический базис
пространства
, выбирается таким образом, что
![{\displaystyle A_{ij}=\int _{a_{i}}\varphi _{i}=\delta _{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9a3daa6cb86a04c03ad917f7e1b3ffab041432)
где
и
при
. При этом матрица
-периодов
![{\displaystyle B_{ij}=\int _{b_{j}}\varphi _{ij},\ i,j=1,2\ldots ,g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b0d2a066533b31dced896e9f2fbaa42791db59)
симметрическая, а матрица мнимых частей
положительно определённая. Абелев дифференциал первого рода, у которого все
-периоды или все
-периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды абелева дифференциала I рода
действенны, то
.
- Неванлинна, Р. Униформизация / пер. с нем. — М. : Иноиздат, 1955. — 435 с.
- Спрингер, Дж. Введение в теорию римановых поверхностей / пер. с англ. Л. А. Маркушевич и Г. Ц. Тумаркина. — М. : Иноиздат, 1960. — 343 с.
- Чеботарёв, Н. Г. Теория алгебраических функций. — М. ; Л. : Гостехлитиздат, 1948. — 397 с.