Хиральный узел — Википедия

В теории узлов хиральный узел — это узел, который не эквивалентен своему зеркальному отражению. Ориентированный узел, эквивалентный своему зеркальному отражению, называется амфихиральным узлом или ахиральным узлом. Хиральность узла является инвариантом узла. Хиральность узлов можно далее классифицировать в зависимости от того, обратим он или нет.

Существует только 5 типов симметрий узлов, определяемых хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, обратимый, положительно амфихиральный необратимый, отрицательно амфихиральный необратимый и полностью амфихиральный обратимый ^[1].

Хиральность некоторых узлов давно подозревалась и доказана Максом Деном в 1914 году. П. Г. Тэт высказал гипотезу, что все амфихиральные узлы имеют чётное число пересечений, но Морвен Тислуэйт^[англ.] в 1998 году нашёл контрпример^[2]. Однако гипотеза Тэйта доказана для простых альтернированных узлов^[3].

• Оба возможных трилистника.
• 
  Левый трилистник.
• 
  Правый трилистник.

Простейший хиральный узел — трилистник, хиральность которого показал Макс Ден. Все торические узлы хиральны. Многочлен Александера не может определить хиральность узла, а вот многочлен Джонса в некоторых случаях может. Если V_k(q) ≠ V_k(q⁻¹), то узел хирален, однако обратное не обязательно верно. Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность^[4].

Обратимый хиральный узел называется двусторонним^[5]. Среди примеров двусторонних узлов — трилистник.

Если узел не эквивалентен ни своему обратному, ни своему зеркальному образу, он называется полностью хиральным, пример — узел 9 32^[5].

Амфихиральный узел — это узел, имеющий автогомеоморфизм α 3-сферы, который обращает ориентацию и фиксирует узел как множество.

Все амфихиральные альтернированные имеют чётное число пересечений. Первый амфихиральный узел с нечётным числом пересечений, а именно с 15 пересечениями, нашёл Хосте (Hoste) и др.^[3]

Если узел изотопен своему обратному и своему зеркальному образу, его называют полностью амфихиральным. Простейшим узлом с этим свойством является восьмёрка.

Если автогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, говорят о положительной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла своему зеркальному отражению. Никакой из узлов с числом пересечений меньшим двенадцати не является положительно амфихиральным^[5].

Если автогомеоморфизм α обращает ориентацию узла, говорят об отрицательной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла обратному зеркальному отражению. Узел с этим свойством с минимальным числом пересечением — это 8₁₇^[5].

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вып. 4. — doi:10.1007/BF03025227. Архивировано 15 декабря 2013 года.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.