Треугольная матрица — Википедия
Треуго́льная ма́трица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Triangular_matrix.svg/220px-Triangular_matrix.svg.png)
Основные определения
[править | править код]Верхняя треугольная матрица (или верхнетреугольная матрица) — квадратная матрица , у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю: при [1][2]
Нижняя треугольная матрица (или нижнетреугольная матрица) — квадратная матрица , у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю: при [1][2].
Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица , в которой все элементы на главной диагонали равны единице: [3].
Диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной[4].
Применение
[править | править код]Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результате[5]:
- любую матрицу путём элементарных преобразований над строками и перестановок строк можно привести к треугольному виду.
Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет сложностей.
Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатах[6]:
- любую квадратную матрицу с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы и верхней треугольной матрицы : (см. LU-разложение), причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно потребовать, чтобы была унитреугольной;
- любую невырожденную квадратную матрицу можно представить в следующем виде: , где — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP-разложение).
Свойства
[править | править код]- Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали[7] (в частности, определитель унитреугольной матрицы равен единице).
- Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу[4], которая обозначается UT(n, k) или UTn (k).
- Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу[4], которая обозначается LT(n, k) или LTn (k).
- Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UTn (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUTn (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLTn (k).
- Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц.
- Группа UTn разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUTn нильпотентна.
См. также
[править | править код]- Система линейных алгебраических уравнений
- Элементарные преобразования матрицы
- Единичная матрица
- Диагональная матрица
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 27.
- ↑ 1 2 Икрамов, 1991, с. 9—10.
- ↑ Икрамов, 1991, с. 10.
- ↑ 1 2 3 Гантмахер, 1988, с. 27.
- ↑ Гантмахер, 1988, с. 42—43.
- ↑ Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 76, 174—175.
- ↑ Воеводин и Кузнецов, 1984, с. 30.
Литература
[править | править код]- Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. . Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 320 с.
- Гантмахер Ф. Р. . Теория матриц. 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — 552 с. — ISBN 5-02-013722-7.
- Икрамов Х. Д. . Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. — М.: Наука, 1991. — 240 с. — ISBN 5-02-014462-2.
Для улучшения этой статьи желательно:
|