Выпуклая кривая — Википедия

Выпуклая кривая — кривая на евклидовой плоскости, которая лежит по одну сторону от любой касательной прямой.

Граница ограниченного выпуклого множества всегда является выпуклой кривой.

Любая прямая ${\displaystyle L}$ делит евклидову плоскость на две полуплоскости, в объединении дающие всю плоскость, а пересечение которых совпадает с ${\displaystyle L}$, кривая ${\displaystyle C}$ «лежит по одну сторону от ${\displaystyle L}$», если она полностью содержится в одной из этих полуплоскостей. Плоская кривая называется выпуклой, если она лежит по одну сторону от любой её касательной прямой^[1]. Другими словами, выпуклая кривая является кривой, которая имеет опорную прямую в каждой точке кривой.

Выпуклую кривую можно определить как границу выпуклого множества евклидовой плоскости. Это означает, что выпуклая кривая всегда замкнута (то есть не имеет конечных точек)^[2].

Иногда используется более слабое определение, в котором выпуклая кривая является подмножеством границы выпуклого множества. В этом варианте выпуклая кривая может иметь конечные точки.

Строго выпуклая кривая — выпуклая кривая, не содержащая отрезков. Эквивалентно, строго выпуклая кривая — это кривая, которая пересекает любую прямую максимум в двух точках^[3][4], или простая замкнутая кривая в выпуклой позиции^[англ.], что означает, что никакая точка кривой не может быть представлена в виде выпуклой комбинации любого другого подмножества её точек.

Любая выпуклая кривая имеет хорошо определённую конечную длину. Таким образом, выпуклая кривая является подмножеством спрямляемых кривых^[2].

Согласно теореме о четырёх вершинах любая кривая имеет по меньшей мере четыре вершины, точки, в которых достигается локальный минимум или максимум кривизны^[4][5].

Замкнутая кривая ${\displaystyle C}$ является выпуклой в том и только в том случае, когда не существует трёх различных точек на кривой ${\displaystyle C}$, таких, что касательные в этих точках параллельны.

Кривая называется простой, если она не пересекает себя. Замкнутая регулярная плоская простая кривая ${\displaystyle C}$ выпукла тогда и только тогда, когда её кривизна либо всегда положительна, либо всегда отрицательна. То есть, её угол наклона (угол касательной к кривой по отношению к оси) является слабо монотонной функцией параметризации кривой^[1].

Гладкие выпуклые кривые с осевой симметрией иногда называют овалами^[6]. Однако в конечной проективной геометрии овалы^[англ.] определяются как множества, в которых любая точка имеет единственную касательную, что в евклидовой геометрии верно в случае гладких строго выпуклых замкнутых кривых.

• Список тем по выпуклости^[англ.]

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.