Выпуклый многоугольник — Википедия
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Pentagram_in_pentagon.svg/220px-Pentagram_in_pentagon.svg.png)
Выпуклый многоугольник — многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Трёхмерное обобщение — выпуклый многогранник; дальнейшее обобщение привело к появлению важного понятия выпуклого множества, сыгравшего важную роль в анализе (выпуклый анализ) и приложениях. В терминах выпуклых множеств выпуклый многоугольник можно определить как выпуклое подмножество плоскости, граница которого состоит из конечного числа прямолинейных отрезков.
Средствами планиметрии можно дать множество эквивалентных определений:
- многоугольник является выпуклым, если часть плоскости, им ограниченная (плоский многоугольник) является выпуклым множеством;
- многоугольник будет выпуклым, если для любых двух точек внутри него соединяющий их отрезок полностью лежит в нём;
- многоугольник, для которого продолжения сторон не пересекают других его сторон;
- многоугольник без самопересечений, каждый внутренний угол которого не более 180°;
- многоугольник, все диагонали которого полностью лежат внутри него.
Теоретико-множественные эквивалентные определения:
- выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости;
- ограниченное множество, являющееся пересечением конечного числа замкнутых полуплоскостей.
Любой треугольник является выпуклым; замкнутые фигуры из отрезков могут быть невыпуклыми.
Площадь выпуклого -угольника без самопересечений с координатами вершин (так, чтобы с индексами и были соседние вершины и ) вычисляется по формуле:
- .
Литература
[править | править код]- Выпуклый многоугольник — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский
- Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951. — 343 с. — (Библиотека математического кружка, вып. 4).